Microeconomia

Função de Utilidade, 2.ª Lei de Gossen, Procura Individual

ISCAL - IPL

Recapitulação 🔄

Na aula anterior:

Cabaz de bens e espaço de consumo
Restrição Orçamental: \(Xp_x + Yp_y = W\)
Preferências: desejabilidade, completude, transitividade
Curvas de indiferença: inclinação negativa, não se cruzam

Hoje: Função de utilidade, otimização e procura individual

Taxa Marginal de Substituição (TMS) 🔁

TMS — Definição

Taxa Marginal de Substituição

É a taxa à qual o consumidor está disposto a trocar um bem pelo outro ficando indiferente. Define-se como a quantidade de \(Y\) de que está disposto a prescindir para ter mais uma unidade de \(X\), mantendo a utilidade constante: \[TMS = \frac{\Delta Y}{\Delta X}\bigg|_{\Delta U = 0}\]

Ao longo da curva de indiferença convexa, \(|TMS|\) é decrescente — valorizamos mais o bem que temos em menor quantidade.

TMS — Gráfico

Função de Utilidade 📈

Função de Utilidade — Definição

Função de Utilidade

Representação numérica da relação de preferência: \[U(A) > U(B) \;\Leftrightarrow\; A \text{ é preferido a } B\] \[U(A) = U(B) \;\Leftrightarrow\; A \text{ é indiferente a } B\]

Função de Utilidade — Natureza Ordinal

A função de utilidade é uma relação ordinal — ordena cabazes, mas o valor por si só não tem significado cardinal.

Consequência: muitas funções utilidade expressam as mesmas preferências — basta preservar a ordenação.

Exemplo: \(A(20,20) \succ B(10,10)\) — todas estas funções descrevem as mesmas preferências: \[U = x^{0{,}5}y^{0{,}5}, \quad U = 10x^{0{,}5}y^{0{,}5}, \quad U = 0{,}5(\ln x + \ln y)\]

Curvas de Indiferença e Função Utilidade

Uma curva de indiferença é o conjunto de todos os cabazes com a mesma utilidade \(\bar{U}\):

\[\forall(x,y)\colon U(x,y) = \bar{U} \quad\Leftrightarrow\quad \Delta U = 0\]

Utilidade Marginal e Leis de Gossen 📉

Utilidade Total e Utilidade Marginal

Utilidade total \(U(x)\): satisfação ao consumir uma quantidade de um bem.

Utilidade marginal: utilidade fornecida por uma unidade adicional: \[Umg_x = \frac{\Delta U}{\Delta X} = U'_x\]

Utilidade Total vs. Utilidade Marginal

Aproximamo-nos do ponto de saciedade → \(Umg \to 0\)

1.ª Lei de Gossen

1.ª Lei de Gossen — Utilidade Marginal Decrescente

Uma unidade adicional de um bem tem uma utilidade adicional cada vez menor à medida que o consumo aumenta — a utilidade marginal é decrescente.

Preço de reserva: máximo que o consumidor está disposto a pagar por mais uma unidade. À medida que consome mais, a disponibilidade a pagar diminui.

TMS e Utilidade Marginal

Ao longo da curva de indiferença, \(\Delta U = 0\):

\[\Delta U = Umg_x \cdot \Delta X + Umg_y \cdot \Delta Y = 0\]

Isolando:

\[\boxed{TMS = \frac{\Delta Y}{\Delta X} = -\frac{Umg_x}{Umg_y}}\]

Escolha Óptima e 2.ª Lei de Gossen ⭐

Escolha Óptima do Consumidor

Escolha Óptima

É o ponto de consumo que maximiza a utilidade sujeito ao orçamento disponível: \[\max_{x,y} U(x,y) \quad \text{s.a.} \quad Xp_x + Yp_y = W\]

Escolha Óptima — Gráfico

2.ª Lei de Gossen

No ponto óptimo, o declive da RO iguala o declive da curva de indiferença:

\[-\frac{p_x}{p_y} = TMS = -\frac{Umg_x}{Umg_y}\]

2.ª Lei de Gossen

No óptimo do consumidor: \[\left|TMS\right| = \frac{p_x}{p_y} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{Umg_x}{Umg_y} = \frac{p_x}{p_y}\]

2.ª Lei de Gossen — Interpretação

\[\frac{Umg_x}{Umg_y} = \frac{p_x}{p_y}\]

Benefício marginal de mais \(X\): \(\dfrac{Umg_x}{Umg_y}\) — quanto de \(Y\) “vale” uma unidade de \(X\)

Custo marginal de mais \(X\): \(\dfrac{p_x}{p_y}\) — quanto de \(Y\) “custa” uma unidade de \(X\)

No óptimo: benefício marginal = custo marginal

Exemplo Resolvido — Escolha Óptima

Um consumidor tem €160, \(p_x = 20\)€ (camisas), \(p_y = 30\)€ (calças), \(U(x,y) = xy^3\).

Passo 1 — Calcular \(|TMS|\): \[Umg_x = y^3,\quad Umg_y = 3xy^2 \quad\Rightarrow\quad |TMS| = \frac{y}{3x}\]

Passo 2 — 2.ª Lei de Gossen: \[\frac{y}{3x} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad y^* = 2x^*\]

Passo 3 — Substituir na RO: \[20x + 30(2x) = 160 \;\Rightarrow\; 80x = 160 \;\Rightarrow\; x^* = 2,\quad y^* = 4\]

Procura Individual 📉

Dedução da Procura Individual

Ao variar \(p_x\) com \(p_y\) e \(W\) constantes, cada preço dá um óptimo diferente.

O lugar geométrico dos óptimos é a Via Preço-Consumo.

Via Preço-Consumo e Curva de Procura

Exercícios ✏️

Exercício 1 (Escolha Múltipla)

Um consumidor tem \(U(x,y) = x \cdot y\), \(W = 100\)€, \(p_x = 5\)€, \(p_y = 4\)€. Qual a quantidade óptima de \(x\)?

(A) \(x^* = 5\) \(\quad\) (B) \(x^* = 10\) \(\quad\) (C) \(x^* = 20\) \(\quad\) (D) \(x^* = 8\)

Resposta: (B)

\(Umg_x = y\), \(Umg_y = x\). 2.ª Lei: \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{5}{4} \Rightarrow y = \dfrac{5x}{4}\).

RO: \(5x + 4 \cdot \dfrac{5x}{4} = 10x = 100 \Rightarrow x^* = 10\).

Exercício 2 (Escolha Múltipla)

Qual das afirmações sobre a 1.ª Lei de Gossen é correcta?

(A) A utilidade total diminui à medida que se consome mais.

(B) A utilidade marginal é crescente com o consumo.

(C) A utilidade marginal é decrescente com o consumo.

(D) A utilidade marginal é constante.

Resposta: (C)

A 1.ª Lei de Gossen estabelece que cada unidade adicional acrescenta menos satisfação do que a anterior.

Exercício 3 (Desenvolvimento)

Um consumidor tem \(U(x,y) = x^2 y\), \(W = 90\)€, \(p_x = 3\)€, \(p_y = 2\)€.

a) Calcule \(Umg_x\) e \(Umg_y\).

b) Determine o cabaz óptimo \((x^*, y^*)\) pela 2.ª Lei de Gossen.

c) Calcule o nível de utilidade no óptimo.

Solução

a) \(Umg_x = 2xy\); \(\quad Umg_y = x^2\).

b) 2.ª Lei: \(\dfrac{2xy}{x^2} = \dfrac{2y}{x} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow y = \dfrac{3x}{4}\).

RO: \(3x + 2 \cdot \dfrac{3x}{4} = 3x + \dfrac{3x}{2} = \dfrac{9x}{2} = 90 \Rightarrow x^* = 20,\quad y^* = 15\).

c) \(U(20,15) = 400 \times 15 = 6000\).