Microeconomia

Função de Custos: Fixo, Variável, Médio e Marginal

ISCAL - IPL

Função de Custos

Objectivo: Derivar e interpretar as componentes da função de custos a curto prazo — fixo, variável, médio e marginal — e compreender as suas relações geométricas e analíticas.

Do Processo Produtivo aos Custos

O objectivo da empresa é maximizar o lucro:

\[\Pi = \text{Receitas Totais} - \text{Custos Totais}\]

Para isso, é necessário conhecer a função de custos: como variam os custos com o nível de produção \(Q\).

A curto prazo, com \(K\) fixo e \(L\) variável, os custos dividem-se em duas componentes muito distintas.

Custo Fixo e Custo Variável

\[CT = C(Q) = CF + CV(Q)\]

  • Custo Fixo (\(CF\)): não depende da quantidade produzida — é o custo dos fatores fixos (\(K\)). Existe mesmo que \(Q = 0\).
  • Custo Variável (\(CV\)): depende da quantidade produzida — é o custo do trabalho contratado (\(W \times L\)). Aumenta com \(Q\).

\(CV(0) = 0\) — se não se produz nada, não se contrata trabalho. Mas \(CF > 0\) mesmo com \(Q = 0\).

Exemplo: Da Função de Produção à Função de Custos

Dados: custo de \(K\) instalado \(= 60\); salário por unidade de \(L\) \(= 250\)

\(L\) \(Q\) \(CF\) \(CV\) \(CT\)
0 0 60 0 60
1 20 60 250 310
2 50 60 500 560
3 85 60 750 810
4 114 60 1 000 1 060
5 140 60 1 250 1 310
6 159 60 1 500 1 560
7 169 60 1 750 1 810
8 164 60 2 000 2 060

Note que a curva de \(CT\) é paralela à de \(CV\) — distam sempre \(CF = 60\).

Gráfico: CT, CV e CF

Custo Marginal

É a variação do custo total quando se produz uma unidade adicional de output:

\[Cmg = \frac{\Delta CT}{\Delta Q} = \frac{dCT}{dQ}\]

Como \(CF\) é constante, \(\Delta CF = 0\), portanto:

\[Cmg = \frac{\Delta CV}{\Delta Q} = \frac{dCV}{dQ}\]

O custo marginal é independente do custo fixo — pode calcular-se a partir de \(CT\) ou de \(CV\) com o mesmo resultado.

Custo Marginal e MPL

Existe uma relação inversa entre \(Cmg\) e \(MPL\). Se o salário por unidade de \(L\) é \(W\):

\[Cmg = \frac{W}{MPL}\]

  • Na Etapa I (MPL crescente) → \(Cmg\) é decrescente
  • No óptimo técnico (APL máximo) → \(Cmg = CVM\) (mínimo de \(CVM\))
  • Na Etapa II (MPL decrescente, \(MPL > 0\)) → \(Cmg\) é crescente

A Lei dos Rendimentos Marginais Decrescentes implica que o \(Cmg\) é crescente na Zona Económica de Exploração — fundamento da Lei da Oferta.

Custos Médios

Dividem o custo por unidade produzida:

  • Custo Fixo Médio: \(CFM = \dfrac{CF}{Q}\) — sempre decrescente (o custo fixo dilui-se por mais unidades)

  • Custo Variável Médio: \(CVM = \dfrac{CV}{Q}\) — forma em \(U\); mínimo onde \(Cmg = CVM\)

  • Custo Total Médio: \(CTM = \dfrac{CT}{Q} = CFM + CVM\) — forma em \(U\); mínimo onde \(Cmg = CTM\)

\[CTM = CFM + CVM \implies CTM > CVM \text{ sempre}\]

Tabela com Todos os Custos

\(L\) \(Q\) \(CT\) \(Cmg\) \(CVM\) \(CTM\) Etapa
0 0 60 — — —
1 20 310 12.50 12.50 15.50 I
2 50 560 8.33 10.00 11.20 I
3 85 810 7.14 8.82 9.53 I
4 114 1 060 8.62 8.77 9.30 I
5 140 1 310 9.62 8.93 9.36 II
6 159 1 560 13.16 9.43 9.81 II
7 169 1 810 25.00 10.36 10.71 II
  • \(Cmg\) decrescente (Etapa I)
  • \(CVM\) próximo do mínimo (onde \(Cmg \approx CVM\))
  • \(CTM\) está sempre acima de \(CVM\) (diferença = \(CFM\))

Geometria dos Custos Médios e Marginal

Propriedades Fundamentais

1. \(Cmg\) intersecta \(CVM\) no mínimo de \(CVM\)

  • Se \(Cmg < CVM\): o custo da última unidade é inferior à média → \(CVM\) desce
  • Se \(Cmg > CVM\): o custo da última unidade é superior à média → \(CVM\) sobe
  • Se \(Cmg = CVM\): estamos no mínimo de \(CVM\)

2. \(Cmg\) intersecta \(CTM\) no mínimo de \(CTM\) (pelo mesmo raciocínio)

3. \(CTM > CVM\) sempre (a diferença é o \(CFM > 0\))

4. \(CFM\) é sempre decrescente e tende para 0 → \(CTM\) converge para \(CVM\) quando \(Q \to \infty\)

Exemplo Analítico Completo

Dada \(CT = Q^3 - 6Q^2 + 15Q + 10\):

\[CF = 10 \quad \text{(termo constante)}\] \[CV = Q^3 - 6Q^2 + 15Q\]

\[Cmg = \frac{dCT}{dQ} = 3Q^2 - 12Q + 15\]

\[CVM = \frac{CV}{Q} = Q^2 - 6Q + 15\] \[CTM = \frac{CT}{Q} = Q^2 - 6Q + 15 + \frac{10}{Q}\]

Mínimo de CVM e CTM

Para \(CT = Q^3 - 6Q^2 + 15Q + 10\):

Mínimo de \(CVM\): onde \(Cmg = CVM\):

\[3Q^2 - 12Q + 15 = Q^2 - 6Q + 15\] \[2Q^2 - 6Q = 0 \implies Q(2Q - 6) = 0 \implies Q_{CVM_{min}} = 3\]

Mínimo de \(CTM\): onde \(Cmg = CTM\), ou \(\frac{dCTM}{dQ} = 0\):

\[\frac{dCTM}{dQ} = 2Q - 6 - \frac{10}{Q^2} = 0\]

Numericamente: \(Q_{CTM_{min}} \approx 3.47\); \(CTM_{min} \approx 9.10\)

Exercícios — Escolha Múltipla (1)

1. Para a função \(CT = 2Q^2 + 8Q + 50\), qual é o Custo Marginal?

  1. \(Cmg = 2Q^2 + 8Q\)
  2. \(Cmg = 4Q + 8\)
  3. \(Cmg = 2Q + 8\)
  4. \(Cmg = 4Q\)

Solução: B \(Cmg = \frac{dCT}{dQ} = 4Q + 8\).

Exercícios — Escolha Múltipla (2)

2. Para qual das seguintes afirmações sobre custos a curto prazo a afirmação é falsa?

  1. O \(CFM\) é sempre decrescente com \(Q\).
  2. O \(Cmg\) intersecta o \(CVM\) no mínimo do \(CVM\).
  3. O \(CTM\) intersecta o \(CVM\) no mínimo do \(CVM\).
  4. O \(Cmg\) é independente do custo fixo.

Solução: C A afirmação c) é falsa. Quem intersecta \(CVM\) no mínimo é o \(Cmg\), não o \(CTM\). O \(CTM\) é sempre maior que o \(CVM\) e intersecta o \(Cmg\) no seu próprio mínimo.

Exercício de Desenvolvimento

Enunciado: Uma empresa tem a função de custos totais \(CT = Q^3 - 9Q^2 + 30Q + 18\).

  1. Identifique \(CF\), \(CV(Q)\), \(CVM(Q)\), \(CTM(Q)\) e \(Cmg(Q)\).

  2. Determine a produção no mínimo de \(CVM\) e o respectivo valor mínimo. Confirme que \(Cmg = CVM\) nesse ponto.

  3. Determine a produção no mínimo de \(CTM\). Confirme que \(Cmg = CTM\) nesse ponto.

Solução — Desenvolvimento (a)

\[CT = Q^3 - 9Q^2 + 30Q + 18\]

\[CF = 18 \qquad CV = Q^3 - 9Q^2 + 30Q\]

\[Cmg = 3Q^2 - 18Q + 30\]

\[CVM = \frac{CV}{Q} = Q^2 - 9Q + 30\] \[CTM = \frac{CT}{Q} = Q^2 - 9Q + 30 + \frac{18}{Q}\]

Solução — Desenvolvimento (b) e (c)

Mínimo de \(CVM\) (\(Cmg = CVM\)): \[3Q^2 - 18Q + 30 = Q^2 - 9Q + 30\] \[2Q^2 - 9Q = 0 \implies Q(2Q - 9) = 0 \implies Q_{CVM_{min}} = 4.5\]

\(CVM(4.5) = 20.25 - 40.5 + 30 = 9.75\)

\(Cmg(4.5) = 3(20.25) - 18(4.5) + 30 = 60.75 - 81 + 30 = 9.75\)

Mínimo de \(CTM\) (\(Cmg = CTM\), ou \(\frac{dCTM}{dQ}=0\)):

\[\frac{dCTM}{dQ} = 2Q - 9 - \frac{18}{Q^2} = 0 \implies 2Q^3 - 9Q^2 - 18 = 0\]

Numericamente: \(Q_{CTM_{min}} \approx 4.87\); \(CTM(4.87) \approx 13.59\); \(Cmg(4.87) \approx 13.50\)