Microeconomia

Geometria dos Custos

ISCAL - IPL

Geometria dos Custos

Objectivo: Compreender as relações geométricas entre as curvas de custo — como os declives e os raios de origem das curvas de \(CT\) e \(CV\) se relacionam com \(Cmg\), \(CVM\) e \(CTM\) — e sistematizar as correspondências entre produção e custos.

Ponte entre Produção e Custos

Já estabelecemos duas relações fundamentais:

\[Cmg = \frac{w}{MPL} \qquad CVM = \frac{w}{APL}\]

Isto implica uma simetria total entre as curvas de produto e as curvas de custo:

Produção Custo
\(MPL\) crescente \(\Rightarrow\) \(Cmg\) decrescente
\(MPL\) máximo \(\Rightarrow\) \(Cmg\) mínimo
\(MPL\) decrescente \(\Rightarrow\) \(Cmg\) crescente
\(APL\) máximo (óptimo técnico) \(\Rightarrow\) \(CVM\) mínimo

Derivação das Relações

\[Cmg = \frac{\Delta CT}{\Delta Q} = \frac{\Delta CV}{\Delta Q} = \frac{\Delta CV}{\Delta L}\cdot\frac{\Delta L}{\Delta Q} = \frac{w}{MPL}\]

\[CVM = \frac{CV}{Q} = \frac{wL}{Q} = \frac{w}{(Q/L)} = \frac{w}{APL}\]

A geometria das curvas de custo é um espelho invertido da geometria das curvas de produto: onde o produto tem máximo, o custo tem mínimo — e vice-versa.

Cmg é o Declive da Tangente a CV

\(Cmg\) num dado ponto é o declive da recta tangente à curva \(CV\) nesse ponto:

CVM é o Declive do Raio de Origem a CV

\(CVM(Q) = CV(Q)/Q\) é o declive do segmento que une a origem ao ponto \((Q, CV)\):

O mínimo de \(CVM\) ocorre onde o raio de origem é tangente à curva \(CV\). Nesse ponto, raio e tangente coincidem \(\Rightarrow\) \(Cmg = CVM\).

CTM é o Declive do Raio de Origem a CT

Analogamente, \(CTM(Q) = CT(Q)/Q\) é o declive do raio de origem à curva \(CT\):

Diagrama Duplo: CT/CV acima, Custos Médios abaixo

4 Correspondências Fundamentais

  1. \(MPL\) máximo \(\;\Leftrightarrow\;\) \(Cmg\) mínimo — ponto de inflexão em ambas as curvas

  2. \(APL\) máximo (óptimo técnico) \(\;\Leftrightarrow\;\) \(CVM\) mínimo

  3. \(Cmg\) intersecta \(CVM\) no mínimo de \(CVM\) \(\;(Cmg = CVM)\)

  4. \(Cmg\) intersecta \(CTM\) no mínimo de \(CTM\) \(\;(Cmg = CTM)\), e \(Q_{CTM_{min}} > Q_{CVM_{min}}\) sempre

Porquê Cmg intersecta CVM no mínimo?

Raciocínio pela média:

  • \(Cmg < CVM\): a última unidade custa menos que a média \(\Rightarrow\) média desce
  • \(Cmg > CVM\): a última unidade custa mais que a média \(\Rightarrow\) média sobe
  • \(Cmg = CVM\): a média está no seu ponto de viragem \(\Rightarrow\) mínimo

Analogia: numa série de notas de teste, se a nota seguinte for abaixo da média actual, a média desce; se for acima, sobe. A nota que iguala a média é indiferente — é o ponto de mínimo (ou máximo) da média.

CFM, CVM e CTM quando Q → ∞

\[CTM = CFM + CVM = \frac{CF}{Q} + CVM\]

Quando \(Q \to +\infty\): \(\;CFM \to 0\;\) e portanto \(\;CTM \to CVM\).

Exercícios — Escolha Múltipla (1)

1. Para a função \(CT = Q^3 - 12Q^2 + 60Q + 20\), o mínimo do Custo Marginal ocorre em:

  1. \(Q = 3\)
  2. \(Q = 4\)
  3. \(Q = 6\)
  4. \(Q = 12\)

Solução: \(Cmg = 3Q^2 - 24Q + 60\).

Mínimo: \(dCmg/dQ = 6Q - 24 = 0 \Rightarrow Q = 4\).

\(Cmg(4) = 48 - 96 + 60 = 12\).

Condição de 2.ª ordem: \(d^2Cmg/dQ^2 = 6 > 0\) → mínimo ✓

Exercícios — Escolha Múltipla (2)

2. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

  1. O \(CTM\) intersecta o \(CVM\) no mínimo do \(CVM\).
  2. O mínimo de \(CTM\) ocorre sempre para \(Q\) menor do que o mínimo de \(CVM\).
  3. O \(CFM\) é sempre decrescente e tende para zero quando \(Q\) aumenta.
  4. O \(Cmg\) é sempre crescente.

Solução:

    1. Falsa — é o \(Cmg\) que intersecta \(CVM\) no seu mínimo.
    1. Falsa — o mínimo de \(CTM\) ocorre para \(Q\) maior que o de \(CVM\).
  • c) Verdadeira — \(CFM = CF/Q\) é decrescente em \(Q\); \(\lim_{Q\to\infty} CFM = 0\).
    1. Falsa — \(Cmg\) decresce na Etapa I e cresce na Etapa II.

Exercício de Desenvolvimento

Enunciado: Seja \(CT = \dfrac{1}{3}Q^3 - 5Q^2 + 30Q + 48\).

  1. Identifique \(CF\), \(CV\), \(Cmg\), \(CVM\) e \(CTM\).

  2. Encontre o mínimo de \(Cmg\) e o mínimo de \(CVM\). Confirme que \(Cmg = CVM\) no mínimo de \(CVM\).

  3. Verifique que o mínimo de \(CTM\) ocorre para um valor de \(Q\) superior ao mínimo de \(CVM\).

Solução — Desenvolvimento (a) e (b)

\[CF = 48, \qquad CV = \tfrac{1}{3}Q^3 - 5Q^2 + 30Q\]

\[Cmg = Q^2 - 10Q + 30, \quad CVM = \tfrac{1}{3}Q^2 - 5Q + 30, \quad CTM = \tfrac{1}{3}Q^2 - 5Q + 30 + \tfrac{48}{Q}\]

Mínimo de \(Cmg\): \(dCmg/dQ = 2Q - 10 = 0 \;\Rightarrow\; Q = 5\); \(\quad Cmg(5) = 25 - 50 + 30 = 5\)

Mínimo de \(CVM\) — igualar \(Cmg = CVM\):

\[Q^2 - 10Q + 30 = \tfrac{1}{3}Q^2 - 5Q + 30 \;\Rightarrow\; \tfrac{2}{3}Q^2 - 5Q = 0 \;\Rightarrow\; Q\!\left(\tfrac{2}{3}Q - 5\right) = 0 \;\Rightarrow\; Q_{CVM_{min}} = 7.5\]

\(CVM(7.5) = \tfrac{1}{3}(56.25) - 37.5 + 30 = 18.75 - 37.5 + 30 = 11.25\)

\(Cmg(7.5) = 56.25 - 75 + 30 = 11.25\) ✓

Solução — Desenvolvimento (c)

Mínimo de \(CTM\): \(dCTM/dQ = 0\):

\[\frac{2}{3}Q - 5 - \frac{48}{Q^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{3}Q^3 - 5Q^2 - 48 = 0\]

Por tentativas:

\(Q = 8\!:\) \(\tfrac{2}{3}(512) - 5(64) - 48 = 341.3 - 320 - 48 = -26.7 < 0\)

\(Q = 8.5\!:\) \(\tfrac{2}{3}(614.1) - 5(72.25) - 48 = 409.4 - 361.3 - 48 \approx 0.1 \approx 0\) ✓

\(\Rightarrow Q_{CTM_{min}} \approx 8.5\)

\(CTM(8.5) = \tfrac{1}{3}(72.25) - 42.5 + 30 + \tfrac{48}{8.5} \approx 24.08 - 42.5 + 30 + 5.65 \approx 17.23\)

\(Cmg(8.5) = 72.25 - 85 + 30 = 17.25\) ✓

Conclusão: \(Q_{CTM_{min}} \approx 8.5 > Q_{CVM_{min}} = 7.5\) ✓