Microeconomia

Optimização do Produtor: Mercado Concorrencial

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ISCAL - IPL

1 Optimização do Produtor: Mercado Concorrencial

Objectivo: Derivar a condição óptima de produção em concorrência perfeita (\(P = Cmg\)), identificar os limiares de rendibilidade e encerramento, e construir a curva de oferta individual.

2 Estruturas de Mercado

Nesta aula estudamos Concorrência Perfeita — a estrutura de mercado de referência.

3 Hipóteses da Concorrência Perfeita

  • Mercado atomizado: cada empresa representa uma fracção ínfima do mercado — individualmente, ninguém influencia o preço
  • Produto homogéneo: os compradores são indiferentes entre fornecedores
  • Price takers: cada empresa toma o preço de mercado \(P\) como dado (exógeno)
  • Livre entrada e saída do mercado
  • Informação perfeita

A hipótese-chave é que a empresa não tem poder de mercado: para ela, \(P\) é uma constante.

4 Maximização do Lucro

\[\max_{Q_i} \Pi_i = RT - CT = P \cdot Q_i - CT(Q_i)\]

Condição de Primeira Ordem (CPO):

\[\frac{d\Pi_i}{dQ_i} = P - \frac{dCT}{dQ_i} = 0 \;\Rightarrow\; \boxed{P = Cmg}\]

Condição de Segunda Ordem (CSO):

\[\frac{d^2\Pi_i}{dQ_i^2} = -\frac{dCmg}{dQ_i} < 0 \;\Rightarrow\; Cmg \text{ crescente}\]

A empresa produz onde \(P = Cmg\) na zona crescente de \(Cmg\) — que coincide com a Zona Económica de Exploração.

5 Intuição: P = Cmg como Cmg = Bmg

\[P = Cmg\]

  • \(P\) é o benefício marginal de produzir uma unidade adicional (receita por unidade vendida)
  • \(Cmg\) é o custo marginal de produzir essa unidade
  • Se \(P > Cmg\): produzir mais aumenta o lucro → expandir
  • Se \(P < Cmg\): produzir mais reduz o lucro → contrair
  • Se \(P = Cmg\): lucro é máximo ✓

É novamente o princípio fundamental da racionalidade: benefício marginal = custo marginal.

6 Lucro Gráfico: caso P > CTM

\(\Pi^* = Q_i^* \cdot (P^* - CTM(Q_i^*)) > 0\) quando \(P^* > CTM\) ✓

7 Lucro Gráfico: caso P < CTM mas P > CVM

\(P > CVM\): a receita cobre os custos variáveis e parte dos fixos → prejuízo \(< CF\) → manter-se em funcionamento

8 Lucro e Prejuízo: Sistematização

\[\Pi = Q_i \cdot (P - CTM) = Q_i \cdot (P - CVM - CFM)\]

  • \(P > CTM\): lucro positivo — produzir ao nível \(P = Cmg\)
  • \(CVM < P < CTM\): prejuízo \(< CF\) — vale a pena continuar a produzir (cobrem-se os custos variáveis e parte dos fixos)
  • \(P = CVM_{min}\): limiar de encerramento \(P_0\) — indiferente entre produzir \(Q_0\) e encerrar
  • \(P < CVM_{min}\): encerrar — prejuízo \(> CF\); encerrando perde-se apenas \(CF\)

9 Os Dois Limiares

  • \(P_0 = CVM_{min}\): limiar de encerramento — abaixo deste preço, a empresa fecha
  • \(P_1 = CTM_{min}\): limiar de rendibilidade — acima deste preço, a empresa tem lucro \(> 0\)

10 Curva de Oferta Individual

A curva de oferta é o conjunto de pares \((Q, P)\) que constituem a escolha óptima para cada preço:

\[S_i: \quad P = Cmg(Q_i) \quad \text{para } P \geq P_0 = CVM_{min}\]

11 Curva de Oferta Individual

12 Lei da Oferta

A curva de oferta tem inclinação positiva: se \(P\) sobe, \(Q_i^*\) sobe — e vice-versa.

Porquê? Na Zona Económica de Exploração, \(Cmg\) é crescente. Para um preço mais alto, a igualdade \(P = Cmg\) dá-se num nível de \(Q\) mais elevado.

Fundamento último: Lei dos Rendimentos Marginais Decrescentes \(\Rightarrow\) \(Cmg\) crescente \(\Rightarrow\) curva de oferta positivamente inclinada.

A variação do preço de venda move ao longo da curva de oferta. A variação de factores exógenos (preço dos inputs, tecnologia) desloca a curva inteira.

13 Determinantes da Oferta

O preço de venda \(P\) é o único factor que move ao longo da curva. Os restantes factores deslocam a curva:

  • Preços dos factores \(w, r\) ↑ → custos sobem → oferta contrai (curva desloca para cima/esquerda)
  • Tecnologia \(A\) melhora → custos descem → oferta expande (curva desloca para baixo/direita)
  • Preço de materiais \(p_m\) ↑ → custos sobem → oferta contrai
  • Número de empresas ↑ → oferta de mercado expande

14 Exemplo Resolvido

Dados: \(CT = Q^3 - 60Q^2 + 1200Q + 1000\)

  1. Determine \(Cmg\), \(CVM\), \(CTM\).
  2. Calcule os limiares de encerramento e rendibilidade.
  3. Identifique a curva de oferta.
  4. Se \(P = 330.75\), a empresa produz ou encerra? Tem lucro ou prejuízo?

15 Exemplo — Resolução (a) e (b)

\[Cmg = 3Q^2 - 120Q + 1200\] \[CVM = Q^2 - 60Q + 1200 \qquad CTM = Q^2 - 60Q + 1200 + \tfrac{1000}{Q}\]

Limiar de encerramento — mínimo de \(CVM\) (\(Cmg = CVM\)):

\[3Q^2 - 120Q + 1200 = Q^2 - 60Q + 1200 \;\Rightarrow\; 2Q^2 - 60Q = 0 \;\Rightarrow\; Q_0 = 30\]

\[P_0 = CVM(30) = 900 - 1800 + 1200 = \mathbf{300}\]

Limiar de rendibilidade — mínimo de \(CTM\): por tentativas,

\(Q = 30.5\!:\) \(CTM = (30.5)^2 - 60(30.5) + 1200 + \tfrac{1000}{30.5} = 930.25 - 1830 + 1200 + 32.79 \approx 333\)

\[P_1 \approx \mathbf{333}\]

16 Exemplo — Resolução (c) e (d)

Curva de oferta:

\[S_i\!: \quad P = 3Q^2 - 120Q + 1200 \quad \text{para } P \geq 300\]

Para \(P = 330.75\): igualar \(P = Cmg\):

\[3Q^2 - 120Q + 1200 = 330.75 \;\Rightarrow\; 3Q^2 - 120Q + 869.25 = 0\]

\[Q = \frac{120 \pm \sqrt{14400 - 4 \times 3 \times 869.25}}{6} = \frac{120 \pm \sqrt{14400 - 10431}}{6} = \frac{120 \pm \sqrt{3969}}{6} = \frac{120 \pm 63}{6}\]

\(Q_a = 9.5\) (zona decrescente de \(Cmg\) — inválido); \(\quad Q^* = \dfrac{120+63}{6} = 30.5\)

\(CVM(30.5) = 930.25 - 1830 + 1200 = 300.25 < 330.75\) → produz

\(CTM(30.5) \approx 333 > 330.75\) → prejuízo (mas menor que \(CF\)) ✓

17 Exercícios — Escolha Múltipla (1)

1. Uma empresa em concorrência perfeita tem \(Cmg = 2Q + 4\) e \(CVM_{min} = 4\) (para \(Q = 0\)). Se o preço de mercado for \(P = 14\), qual a produção óptima?

  1. \(Q^* = 4\)
  2. \(Q^* = 5\) ✓
  3. \(Q^* = 7\)
  4. A empresa encerra.

Solução: \(P = Cmg \Rightarrow 14 = 2Q + 4 \Rightarrow Q^* = 5\).

Verificação de encerramento: \(P = 14 > CVM_{min} = 4\) → não encerra ✓

18 Exercícios — Escolha Múltipla (2)

2. Para uma empresa em concorrência perfeita com \(CT = 2Q^2 + 6Q + 50\), qual o limiar de encerramento?

  1. \(P_0 = 6\) ✓
  2. \(P_0 = 10\)
  3. \(P_0 = 50\)
  4. \(P_0 = 56\)

Solução: \(CV = 2Q^2 + 6Q\); \(CVM = 2Q + 6\).

\(CVM\) é crescente para todo \(Q > 0\) (é uma recta), logo o mínimo é em \(Q \to 0\): \(CVM_{min} = 6\).

Verificação: \(Cmg = 4Q + 6\). \(Cmg = CVM \Rightarrow 4Q + 6 = 2Q + 6 \Rightarrow Q = 0\). \(CVM(0) = 6\) ✓

\(P_0 = 6\).

19 Exercício de Desenvolvimento

Enunciado: Uma empresa em concorrência perfeita tem \(CT = Q^3 - 9Q^2 + 30Q + 18\).

  1. Determine \(Cmg\), \(CVM\) e \(CTM\).

  2. Calcule os limiares de encerramento e rendibilidade.

  3. Se \(P = 12\), qual a produção óptima? Tem lucro ou prejuízo? Deve manter-se em funcionamento?

  4. Escreva a expressão da curva de oferta desta empresa.

20 Solução — Desenvolvimento (a) e (b)

\[Cmg = 3Q^2 - 18Q + 30, \quad CVM = Q^2 - 9Q + 30, \quad CTM = Q^2 - 9Q + 30 + \tfrac{18}{Q}\]

Limiar de encerramento (\(Cmg = CVM\)):

\[3Q^2 - 18Q + 30 = Q^2 - 9Q + 30 \;\Rightarrow\; 2Q^2 - 9Q = 0 \;\Rightarrow\; Q_0 = 4.5\]

\[P_0 = CVM(4.5) = 20.25 - 40.5 + 30 = \mathbf{9.75}\]

Limiar de rendibilidade (\(Cmg = CTM\)):

\[3Q^2 - 18Q + 30 = Q^2 - 9Q + 30 + \tfrac{18}{Q} \;\Rightarrow\; 2Q^3 - 9Q^2 - 18 = 0\]

Por tentativas: \(Q = 4.87 \Rightarrow CTM(4.87) \approx 13.59\).

\[P_1 \approx \mathbf{13.59}\]

21 Solução — Desenvolvimento (c) e (d)

Para \(P = 12\): \(P = Cmg \Rightarrow 3Q^2 - 18Q + 30 = 12 \Rightarrow 3Q^2 - 18Q + 18 = 0 \Rightarrow Q^2 - 6Q + 6 = 0\)

\[Q = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}\]

\(Q_a = 3 - \sqrt{3} \approx 1.27\) (zona decrescente de \(Cmg\) — inválido)

\(Q^* = 3 + \sqrt{3} \approx 4.73\)

\(CVM(4.73) = 22.37 - 42.57 + 30 = 9.80\)

\(CTM(4.73) = 9.80 + 18/4.73 = 9.80 + 3.81 = 13.61\)

\(P = 12 > P_0 = 9.75\) → mantém-se em funcionamento ✓

\(P = 12 < P_1 \approx 13.59\) → tem prejuízo (mas inferior a \(CF = 18\)) ✓

Curva de oferta: \(S_i\!: P = 3Q^2 - 18Q + 30\) para \(P \geq 9.75\)