Microeconomia

Aula 22 — Introdução à Teoria de Jogos

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ISCAL - IPL

1 O que é um Jogo?

1.1 Porque precisamos de Teoria de Jogos?

Até agora, cada decisor foi analisado em isolamento:

  • O consumidor maximiza utilidade dado um preço que não controla
  • A empresa em CP escolhe \(Q\) dado um preço de mercado
  • O monopolista optimiza face a uma curva de procura passiva

. . .

Mas e quando o resultado de cada agente depende das escolhas dos outros?

. . .

Important

Em oligopólio, duas ou três empresas controlam o mercado. A decisão de uma afecta directamente o lucro das outras. Cada empresa precisa de antecipar o comportamento das rivais — e elas sabem disso.

A teoria de jogos é a ferramenta adequada para analisar estas situações de interdependência estratégica.

1.2 Os Elementos de um Jogo

Todo o jogo em forma normal é definido por três elementos:

. . .

1. Jogadores — quem decide? (\(i = 1, 2, \ldots, n\))

. . .

2. Estratégias — que acções estão disponíveis a cada jogador?

\[S_i = \{s_{i1},\ s_{i2},\ \ldots\}\]

. . .

3. Payoffs — que resultado obtém cada jogador para cada combinação de estratégias?

\[\pi_i(s_1, s_2, \ldots, s_n)\]

. . .

Note

O payoff pode representar lucro, utilidade, anos de prisão evitados, ou qualquer medida de bem-estar relevante. A teoria é geral — o conteúdo depende da aplicação.

1.3 Forma Normal: A Matriz de Payoffs

Com dois jogadores e duas estratégias cada, o jogo representa-se numa matriz \(2\times2\):

. . .

Empresa B: \(s_{B1}\) Empresa B: \(s_{B2}\)
Empresa A: \(s_{A1}\) \((\pi_A^{11},\ \pi_B^{11})\) \((\pi_A^{12},\ \pi_B^{12})\)
Empresa A: \(s_{A2}\) \((\pi_A^{21},\ \pi_B^{21})\) \((\pi_A^{22},\ \pi_B^{22})\)

. . .

Convenção: cada célula mostra \((\pi_A,\ \pi_B)\) — primeiro o payoff da empresa que escolhe a linha, segundo o da coluna.

2 Conceitos Fundamentais

2.1 Dominância Estrita

Note

Definição: A estratégia \(s_i\) domina estritamente \(s_i'\) se, independentemente do que os outros jogadores fizerem, \(s_i\) dá sempre um payoff estritamente superior a \(s_i'\).

. . .

Se existe uma estratégia dominante para um jogador, um agente racional nunca escolhe a estratégia dominada — independentemente das suas crenças sobre os rivais.

. . .

Eliminação iterada de estratégias dominadas:

  1. Eliminar as estratégias estritamente dominadas de cada jogador
  2. Repetir com a matriz reduzida
  3. Continuar até não haver mais eliminações

. . .

Se este processo conduz a uma única célula, temos um equilíbrio em estratégias dominantes.

2.2 Exemplo: Dominância e IEDS

Considere o seguinte jogo:

Jogador B: \(s_{B1}\) Jogador B: \(s_{B2}\)
Jogador A: \(s_{A1}\) \((3, 2)\) \((4, 1)\)
Jogador A: \(s_{A2}\) \((1, 3)\) \((2, 4)\)

. . .

1. Análise do Jogador A: - Se B joga \(s_{B1}\): \(3 > 1 \Rightarrow s_{A1}\) é melhor. - Se B joga \(s_{B2}\): \(4 > 2 \Rightarrow s_{A1}\) é melhor. - \(\therefore s_{A1}\) domina estritamente \(s_{A2}\). O Jogador A eliminará \(s_{A2}\).

. . .

2. Análise do Jogador B (após a eliminação de \(s_{A2}\)): - Sabendo que A jogará \(s_{A1}\), o Jogador B compara os seus payoffs na primeira linha: \(2 > 1\). - \(\therefore s_{B1}\) é a melhor resposta ao jogar \(s_{A1}\).

. . .

Resultado IEDS: O jogo converge para o perfil de estratégias \((s_{A1}, s_{B1})\).

2.3 Equilíbrio de Nash

Important

Definição (John Nash, 1950): Um perfil de estratégias \((s_1^*, s_2^*, \ldots, s_n^*)\) é um Equilíbrio de Nash se nenhum jogador tem incentivo a desviar-se unilateralmente, dado que os outros mantêm as suas estratégias.

. . .

Formalmente, para cada jogador \(i\):

\[\pi_i(s_i^*,\ s_{-i}^*) \geq \pi_i(s_i,\ s_{-i}^*) \quad \forall s_i\]

onde \(s_{-i}^*\) denota as estratégias de todos os outros jogadores.

. . .

Note

O Equilíbrio de Nash é um conceito de consistência mútua: cada jogador está a fazer o melhor que pode dado o que os outros estão a fazer. Ninguém se arrepende da sua escolha a posteriori.

2.4 Nash vs. Óptimo Colectivo

Um Equilíbrio de Nash não é necessariamente o melhor resultado colectivo:

. . .

  • O EN é estável do ponto de vista individual — ninguém quer desviar sozinho
  • Mas pode existir outro resultado em que todos ficariam melhor
  • Esse resultado não é sustentável sem coordenação ou compromisso vinculativo

. . .

Esta tensão entre racionalidade individual e óptimo colectivo é o coração do Dilema do Prisioneiro.

3 O Dilema do Prisioneiro

3.1 A História Original

Dois suspeitos são detidos e interrogados separadamente. Cada um pode:

  • Calar (cooperar com o cúmplice)
  • Confessar (delatar o cúmplice)

. . .

Suspeito B: Calar Suspeito B: Confessar
Suspeito A: Calar \((4, 4)\) \((0, 5)\)
Suspeito A: Confessar \((5, 0)\) \((1, 1)\)

(payoffs = anos de prisão evitados — maior é melhor)

3.2 Análise: Dominância e Nash

Raciocínio de A:

  • Se B calar: A obtém \(5\) (confessar) vs \(4\) (calar) \(\Rightarrow\) Confessar
  • Se B confessar: A obtém \(1\) (confessar) vs \(0\) (calar) \(\Rightarrow\) Confessar

. . .

Confessar domina estritamente Calar — para A. Pelo mesmo raciocínio, também para B.

. . .

Equilíbrio de Nash: (Confessar, Confessar) = (1, 1)

. . .

Important

Mas (Calar, Calar) = (4, 4) é Pareto superior — ambos ficariam melhor se calassem. O problema: nenhum consegue credibilmente comprometer-se a calar sem que o outro aproveite para confessar.

A racionalidade individual leva a um resultado colectivamente mau.

3.3 Aplicação: Delação Premiada em Cartéis

O dilema do prisioneiro tem uma aplicação directa à política de concorrência:

. . .

Duas empresas num cartel podem:

  • Cooperar — manter o acordo de cartel, partilhar lucros de monopólio
  • Delatar — informar a autoridade da concorrência, obtendo imunidade ou redução de coima

. . .

Empresa B: Cooperar Empresa B: Delatar
Empresa A: Cooperar \((6, 6)\) \((0, 8)\)
Empresa A: Delatar \((8, 0)\) \((2, 2)\)

(payoffs em milhares de euros de lucro líquido)

3.4 Análise da Delação Premiada

Dominância de Delatar:

  • Se B cooperar: A obtém \(8\) (delatar) vs \(6\) (cooperar) \(\Rightarrow\) Delatar
  • Se B delatar: A obtém \(2\) (delatar) vs \(0\) (cooperar) \(\Rightarrow\) Delatar

. . .

Equilíbrio de Nash: (Delatar, Delatar) = (2, 2)

Resultado colectivamente inferior a (Cooperar, Cooperar) = (6, 6).

. . .

Tip

Lógica da política de leniência: os reguladores exploram exactamente esta estrutura. Ao oferecer imunidade total ao primeiro a delatar, tornam a delação ainda mais atractiva — o equilíbrio de Nash desloca-se para (Delatar, Delatar) de forma ainda mais robusta.

Os cartéis são instáveis precisamente porque cada membro tem incentivo a trair os parceiros.

4 Outros Tipos de Jogos

4.1 Jogos de Coordenação

Nem todos os jogos têm a estrutura problemática do dilema do prisioneiro:

. . .

Jogador B: Esquerda Jogador B: Direita
Jogador A: Esquerda \((3, 3)\) \((0, 0)\)
Jogador A: Direita \((0, 0)\) \((3, 3)\)

(Exemplo: lados de circulação no trânsito)

. . .

Dois Equilíbrios de Nash: (Esq, Esq) e (Dir, Dir). Aqui o problema não é a traição — é a coordenação: ambos querem fazer o mesmo, mas qual?

4.2 Resumo: Conceitos-Chave

Conceito Definição em síntese
Estratégia dominante Melhor resposta independentemente do rival
Estratégia dominada Nunca é a melhor resposta — racional eliminá-la
Equilíbrio de Nash Ninguém quer desviar unilateralmente
Dilema do Prisioneiro EN existe mas é Pareto inferior — racionalidade individual \(\neq\) óptimo colectivo
Jogo de coordenação Múltiplos EN — o problema é coordenar, não trair

. . .

Note

Na próxima aula aplicamos estes conceitos ao oligopólio: o modelo de Cournot é precisamente um jogo em que cada empresa escolhe quantidade tomando a rival como dado — e o equilíbrio de Nash em quantidades é o resultado central.

5 Exercícios

5.1 Exercício 1 — Escolha Múltipla

Considere a seguinte matriz de payoffs \((\pi_A,\ \pi_B)\):

Empresa B: Alto Empresa B: Baixo
Empresa A: Alto \((3, 3)\) \((1, 5)\)
Empresa A: Baixo \((5, 1)\) \((2, 2)\)

O Equilíbrio de Nash desta matriz é:

  1. (Alto, Alto) = (3, 3)
  2. (Alto, Baixo) = (1, 5)
  3. (Baixo, Baixo) = (2, 2)
  4. Não existe Equilíbrio de Nash

5.2 Solução — Exercício 1

A: Se B=Alto: \(5 > 3\) → Baixo. Se B=Baixo: \(2 > 1\) → Baixo. Baixo domina.

B: Se A=Alto: \(5 > 3\) → Baixo. Se A=Baixo: \(2 > 1\) → Baixo. Baixo domina.

Nash: (Baixo, Baixo) = (2, 2) — nenhum quer desviar unilateralmente.

Note: (Alto, Alto) = (3, 3) é Pareto superior mas não é EN — cada um tem incentivo a desviar para Baixo.

Resposta: (c)

5.3 Exercício 2 — Escolha Múltipla

No Dilema do Prisioneiro, o Equilíbrio de Nash é:

  1. O resultado que maximiza a soma dos payoffs dos dois jogadores
  2. O resultado em que nenhum jogador quer desviar, mesmo que seja Pareto inferior
  3. Sempre o resultado em que ambos cooperam
  4. O resultado que só é atingível com comunicação entre os jogadores

5.4 Solução — Exercício 2

    1. Falso — o EN do DP é (Confessar, Confessar) que minimiza a soma dos payoffs
  • (b) Verdadeiro — o EN é estável individualmente (ninguém quer desviar sozinho) mesmo sendo Pareto inferior a (Calar, Calar)
    1. Falso — no DP o EN é precisamente a não-cooperação
    1. Falso — o EN existe sem comunicação; com comunicação vinculativa o resultado poderia mudar, mas o EN em si não requer comunicação

Resposta: (b)

5.5 Exercício de Desenvolvimento

Duas empresas, A e B, participavam num cartel ilegal. A autoridade da concorrência abre uma investigação e contacta cada empresa separadamente, oferecendo imunidade total à primeira a colaborar.

Cada empresa pode Cooperar (manter silêncio) ou Delatar (colaborar com a autoridade).

Os payoffs (lucro líquido esperado, em milhares de euros) são:

Empresa B: Cooperar Empresa B: Delatar
Empresa A: Cooperar \((6, 6)\) \((0, 8)\)
Empresa A: Delatar \((8, 0)\) \((2, 2)\)
  1. Mostre que Delatar é uma estratégia estritamente dominante para a Empresa A.
  2. Identifique o Equilíbrio de Nash. Qual o payoff de cada empresa?
  3. Qual o resultado colectivamente óptimo? Compare com o EN.
  4. Explique por que razão a política de leniência é eficaz para desmantelar cartéis.

5.6 Solução — Exercício de Desenvolvimento

a) Verificação da dominância de Delatar para A:

  • Se B Cooperar: A obtém \(8\) (Delatar) \(>\) \(6\) (Cooperar) \(\Rightarrow\) Delatar
  • Se B Delatar: A obtém \(2\) (Delatar) \(>\) \(0\) (Cooperar) \(\Rightarrow\) Delatar

Delatar é estritamente dominante — A prefere Delatar independentemente da escolha de B. ✓

. . .

b) Pelo mesmo raciocínio (o jogo é simétrico), Delatar também domina para B.

Equilíbrio de Nash: (Delatar, Delatar) = (2, 2)

Nenhuma empresa quer desviar: se A está a delatar, B obtém \(2\) (delatar) \(>\) \(0\) (cooperar). ✓

. . .

c) O resultado colectivamente óptimo é (Cooperar, Cooperar) = (6, 6) — soma de payoffs \(12 > 4\).

Mas não é sustentável: qualquer empresa tem incentivo a desviar unilateralmente para Delatar e obter \(8\) em vez de \(6\).

. . .

d) A política de leniência reforça exactamente esta estrutura. Ao garantir imunidade ao primeiro a delatar, o regulador torna o payoff de Delatar ainda mais atractivo. Cada empresa sabe que a rival tem incentivo a delatar primeiro — o que acelera a delação mútua. O cartel dissolve-se pela mesma lógica do dilema do prisioneiro: a racionalidade individual destrói a colusão colectiva.