Microeconomia

Aula 23 — Oligopólio: O Modelo de Cournot

ISCAL - IPL

Oligopólio

Características do Oligopólio

  • Poucas empresas dominam o mercado — tipicamente 2 a 10
  • Produto pode ser homogéneo (petróleo, aço) ou diferenciado (automóveis, smartphones)
  • Barreiras à entrada significativas — custos elevados, economias de escala, patentes
  • Interdependência estratégica — o lucro de cada empresa depende das decisões das rivais

Important

A característica central do oligopólio é a interdependência estratégica. A empresa A não pode optimizar sem antecipar o comportamento da empresa B — e B sabe que A sabe isso. É precisamente aqui que a teoria de jogos se aplica.

Como Modelar o Oligopólio?

A variável estratégica define o modelo:

Modelo Variável estratégica Timing
Cournot Quantidade Simultâneo
Stackelberg Quantidade Sequencial
Bertrand Preço Simultâneo

Hoje: Cournot — cada empresa escolhe simultaneamente a quantidade a produzir, tomando a quantidade da rival como dada.

O Modelo de Cournot

Estrutura do Modelo

Duopólio simétrico:

  • Duas empresas, A e B, produzem um bem homogéneo
  • Procura inversa de mercado: \(P = a - b(q_A + q_B)\)
  • Custos idênticos: \(CT_i = c \cdot q_i\) (custo marginal constante \(Cmg = c\), sem custos fixos)
  • Decisão simultânea de quantidade — nenhuma empresa observa a escolha da outra antes de decidir

Note

A hipótese de Cournot: cada empresa trata a quantidade da rival como fixa ao optimizar. É uma hipótese simplificadora mas gera um equilíbrio de Nash bem definido.

Maximização do Lucro — Empresa A

O lucro da empresa A é:

\[\Pi_A = P \cdot q_A - c \cdot q_A = \bigl[a - b(q_A + q_B)\bigr] q_A - c \cdot q_A\]

Expandindo:

\[\Pi_A = (a - c)\,q_A - b\,q_A^2 - b\,q_A q_B\]

Condição de primeira ordem (\(q_B\) tratado como fixo):

\[\frac{\partial \Pi_A}{\partial q_A} = (a - c) - 2b\,q_A - b\,q_B = 0\]

\[\boxed{q_A^* = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_B}{2}}\]

A Função de Reacção (Best Response)

\[q_A^*(q_B) = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}\,q_B\]

Esta é a função de reacção (ou best response) da empresa A: para cada valor de \(q_B\), indica a quantidade óptima de A.

  • Quando \(q_B = 0\): \(q_A^* = \dfrac{a-c}{2b}\) — A produz como monopolista
  • Quando \(q_B\) aumenta: \(q_A^*\) diminui — A produz menos porque o preço já é pressionado pela produção de B
  • A inclinação é \(-\tfrac{1}{2}\): por cada unidade adicional de B, A reduz a sua produção em meia unidade

Por simetria, a função de reacção de B é:

\[q_B^*(q_A) = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}\,q_A\]

Equilíbrio de Nash de Cournot

O equilíbrio ocorre quando ambas as empresas estão na sua função de reacção simultaneamente:

\[q_A = q_B^*(q_A) \quad \text{e} \quad q_B = q_A^*(q_B)\]

Substituindo \(q_B^*\) na função de reacção de A (duopólio simétrico):

\[q_A = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}\left(\frac{a-c}{2b} - \frac{q_A}{2}\right) = \frac{a-c}{2b} - \frac{a-c}{4b} + \frac{q_A}{4}\]

\[\frac{3}{4}\,q_A = \frac{a-c}{4b} \quad\Rightarrow\quad \boxed{q_A^* = q_B^* = \frac{a-c}{3b}}\]

Quantidade total e preço de equilíbrio:

\[Q^*_C = \frac{2(a-c)}{3b} \qquad P^*_C = a - b\,Q^*_C = \frac{a + 2c}{3}\]

Diagrama das Funções de Reacção

Leitura do Diagrama

  • \(BR_A\) (azul): função de reacção de A — para cada \(q_B\), a melhor resposta de A
  • \(BR_B\) (vermelha): função de reacção de B — para cada \(q_A\), a melhor resposta de B
  • Cournot (8, 8): interseção das duas funções — único ponto em que ambas as empresas estão simultaneamente a optimizar
  • Cartel (6, 6): se as empresas cooperassem, produziriam menos e ganhariam mais — mas não está na intersecção das BRs, logo não é estável
  • C.P. (12, 12): equilíbrio competitivo — está fora da região de lucros positivos de cada empresa

Important

O Cartel (6, 6) não é um Equilíbrio de Nash: se B produz 6, a melhor resposta de A é \(BR_A(6) = 12 - 3 = 9 \neq 6\). Cada empresa tem incentivo a desviar — o cartel é instável.

Equilíbrio Numérico

Exemplo: \(P = 30 - Q\), \(Cmg = 6\)

Com \(a=30\), \(b=1\), \(c=6\):

Funções de reacção:

\[q_A^*(q_B) = 12 - \frac{q_B}{2} \qquad q_B^*(q_A) = 12 - \frac{q_A}{2}\]

Equilíbrio de Cournot (resolver o sistema):

\[q_A^* = 12 - \frac{q_A^*}{4} \cdot \ldots \quad \Rightarrow \quad q_A^* = q_B^* = \frac{30-6}{3} = 8\]

\[Q^*_C = 16 \qquad P^*_C = 30 - 16 = 14 \qquad \Pi^*_{\text{cada}} = (14-6)\times 8 = 64\]

Comparação entre Estruturas de Mercado

Estrutura \(Q\) \(P\) \(\Pi\) cada
Monopólio (cartel) \(12\) \(18\) \(72\)
Cournot \(16\) \(14\) \(64\)
Concorrência Perfeita \(24\) \(6\) \(0\)

Note

Ordenações que sempre se verificam (duopólio simétrico):

\(Q_{\text{mono}} < Q_{\text{Cournot}} < Q_{\text{CP}}\)

\(P_{\text{mono}} > P_{\text{Cournot}} > P_{\text{CP}}\)

\(\Pi_{\text{mono}}/2 > \Pi_{\text{Cournot}} > 0\)

Por que o Cartel é Instável?

Se ambas cooperassem e produzissem \(q = 6\) cada (resultado de monopólio):

A empresa A verifica: \(BR_A(6) = 12 - 3 = 9 \neq 6\)

Se A desviar para \(q_A = 9\) (com \(q_B = 6\)):

\[P = 30 - (9+6) = 15 \qquad \Pi_A = (15-6)\times 9 = 81 > 72\]

Important

Ao desviar do cartel, A aumenta o lucro de \(72\) para \(81\). B raciocina da mesma forma. O acordo colapsa — estrutura de dilema do prisioneiro.

Esta ligação entre Cournot e teoria de jogos (aula anterior) é exacta: o equilíbrio de Cournot é o Equilíbrio de Nash do jogo em que as estratégias são quantidades.

Exercícios

Exercício 1 — Escolha Múltipla

No modelo de Cournot com duas empresas simétricas e procura linear, quando a empresa A aumenta a sua produção, a função de reacção da empresa B indica que B deve:

  1. Aumentar também a produção, para manter a quota de mercado
  2. Manter a produção inalterada, pois toma \(q_A\) como dado
  3. Reduzir a produção, porque o preço de mercado desceu
  4. Sair do mercado se o preço cair abaixo do custo médio

Solução — Exercício 1

A função de reacção de B é \(q_B^*(q_A) = \dfrac{a-c}{2b} - \dfrac{1}{2}q_A\).

A inclinação é \(-\tfrac{1}{2}\): quando \(q_A\) sobe 1 unidade, \(q_B^*\) desce \(\tfrac{1}{2}\).

Resposta: (c) — B reduz a produção porque a maior quantidade de A baixa o preço de mercado; a melhor resposta de B é produzir menos para limitar a queda do preço que recebe.

  1. descreve a hipótese de Cournot (B toma \(q_A\) como dado ao optimizar), não a direcção da resposta óptima quando \(q_A\) muda.

Exercício 2 — Escolha Múltipla

No equilíbrio de Cournot de um duopólio simétrico, comparando com o resultado de monopólio:

  1. A quantidade total é maior e o preço é menor
  2. A quantidade total é menor e o preço é maior
  3. O lucro de cada empresa é maior do que metade do lucro de monopólio
  4. O resultado é eficiente porque \(P = Cmg\)

Solução — Exercício 2

  • (a) Verdadeiro — \(Q_C > Q_m\) e \(P_C < P_m\): a concorrência entre as duas empresas aumenta a produção total e baixa o preço face ao monopólio
    1. Falso — inverte as ordenações correctas
    1. Falso — o lucro de cada empresa em Cournot (\(64\)) é menor do que metade do lucro de monopólio (\(72\)): a concorrência dissipa parte dos lucros
    1. Falso — em Cournot \(P > Cmg\); o resultado é ineficiente (existe DWL), embora menor do que em monopólio

Resposta: (a)

Exercício de Desenvolvimento

Duas empresas, A e B, operam num mercado com procura inversa \(P = 30 - (q_A + q_B)\).

Ambas têm custo marginal constante \(Cmg = 6\) e sem custos fixos.

Alíneas:

  1. Derive a função de reacção (best response) da empresa A, \(q_A^*(q_B)\).
  2. Por simetria, escreva a função de reacção de B. Resolva o sistema para obter o equilíbrio de Cournot \((q_A^*, q_B^*)\).
  3. Calcule a quantidade total \(Q^*_C\), o preço \(P^*_C\) e o lucro de cada empresa \(\Pi^*_C\).
  4. Determine o resultado de monopólio: quantidade, preço e lucro total. Compare com Cournot.
  5. Mostre que o acordo de cartel (cada empresa produz \(q=6\)) não é estável: calcule o lucro de A se se desviar enquanto B produz 6.
  6. Determine o equilíbrio de concorrência perfeita e complete a tabela comparativa.

Solução — Exercício de Desenvolvimento

a) \(\Pi_A = (30 - q_A - q_B)q_A - 6q_A\). CPO: \(\dfrac{\partial \Pi_A}{\partial q_A} = 24 - 2q_A - q_B = 0\)

\[q_A^*(q_B) = 12 - \frac{q_B}{2}\]

b) \(q_B^*(q_A) = 12 - \dfrac{q_A}{2}\). Substituindo: \(q_A = 12 - \dfrac{1}{2}\!\left(12 - \dfrac{q_A}{2}\right) = 6 + \dfrac{q_A}{4}\)

\(\dfrac{3}{4}q_A = 6 \Rightarrow q_A^* = q_B^* = 8\)

c) \(Q^*_C = 16\), \(P^*_C = 30-16 = 14\), \(\Pi^*_C = (14-6)\times 8 = 64\) cada

d) Monopolista: \(Rmg = 30-2Q = 6 \Rightarrow Q_m=12\), \(P_m=18\), \(\Pi_m=144\) (cada: \(72\))

Cournot produz mais (\(16>12\)), cobra menos (\(14<18\)), lucro por empresa menor (\(64<72\)).

e) Se B produz \(6\): \(q_A^{dev} = 12-3=9\), \(P=30-15=15\), \(\Pi_A^{dev}=(15-6)\times 9=81>72\) ✓

A tem incentivo a desviar do cartel — o acordo é instável.

Solução — Exercício de Desenvolvimento

f) \(P=Cmg \Rightarrow 30-Q=6 \Rightarrow Q_{cp}=24\), \(P_{cp}=6\), \(\Pi=0\)

Estrutura \(Q\) \(P\) \(\Pi\) cada
Monopólio \(12\) \(18\) \(72\)
Cournot \(16\) \(14\) \(64\)
Conc. Perf. \(24\) \(6\) \(0\)