Microeconomia

Aula 24 — Jogos Sequenciais e o Modelo de Stackelberg

ISCAL - IPL

Jogos Sequenciais

Da Forma Normal à Forma Extensiva

Na aula anterior, analisámos jogos em forma normal — decisões simultâneas representadas em matriz.

Muitas situações económicas são sequenciais: um jogador age primeiro, o outro observa e responde.

Forma Normal Forma Extensiva
Timing Simultâneo Sequencial
Representação Matriz de payoffs Árvore de decisão
Conceito solução Equilíbrio de Nash Indução para trás
Informação Sem observação Observação da jogada anterior

Note

A forma extensiva acrescenta estrutura temporal ao jogo. Quem move primeiro tem informação comprometida — e quem move depois tem mais informação mas menos iniciativa.

A Árvore de Decisão

Uma árvore de decisão representa:

  • Nós de decisão — pontos onde um jogador escolhe
  • Ramos — as acções disponíveis em cada nó
  • Folhas — resultados finais com os payoffs \((π_1,\ π_2)\)
  • Ordem das jogadas — lê-se da esquerda (raiz) para a direita (folhas)

O método de solução é a indução para trás (backward induction):

Important

Resolver o jogo de trás para a frente: começar nas folhas e determinar a escolha óptima do último jogador; dado isso, determinar a escolha óptima do penúltimo; e assim sucessivamente até à raiz.

Indução para Trás: Jogo de Entrada

O Jogo de Entrada no Mercado

Uma empresa Entrante pondera entrar num mercado onde existe uma empresa Incumbente.

(payoffs: Entrante, Incumbente)

Solução por Indução para Trás

Passo 1 — O que faz o Incumbente se a Entrante entrar?

  • Combater: payoff \(= -1\)
  • Acomodar: payoff \(= 2\)

\(2 > -1\) \(\Rightarrow\) Incumbente acomoda. A ameaça de combater não é credível.

Passo 2 — O que faz a Entrante, antecipando a acomodação?

  • Entrar (sabendo que Incumbente acomoda): payoff \(= 3\)
  • Ficar Fora: payoff \(= 0\)

\(3 > 0\) \(\Rightarrow\) Entrante entra.

Important

Resultado por indução para trás: (Entrar, Acomodar) = (3, 2)

A ameaça de combater é não credível: o Incumbente preferirá sempre acomodar ex-post. Um jogador racional não acredita em ameaças que o ameaçador não tem incentivo a cumprir.

Ameaças Credíveis e Não Credíveis

O jogo de entrada ilustra um princípio central:

Note

Ameaça credível: acção que o ameaçador tem incentivo a executar quando chega o momento, independentemente do que disse antes.

Ameaça não credível: acção que o ameaçador prefere não executar quando chega o momento — racionalmente ignorada pelo rival.

O Incumbente pode dizer “se entrar, combato” — mas a Entrante sabe que, uma vez dentro, o Incumbente preferirá acomodar. As palavras não chegam; só os incentivos ex-post contam.

Tip

Aplicação: um monopolista que ameaça baixar preços drasticamente para afastar rivais precisa de tornar essa ameaça credível — por exemplo, através de investimento em capacidade que torna o combate rentável.

O Modelo de Stackelberg

Stackelberg como Jogo Sequencial

O modelo de Stackelberg aplica a lógica dos jogos sequenciais ao oligopólio de quantidades:

  • Líder (Empresa 1): escolhe \(q_1\) primeiro, de forma observável
  • Seguidor (Empresa 2): observa \(q_1\) e escolhe \(q_2\) a seguir
  • Mesma estrutura de mercado da aula anterior: \(P = 30 - (q_1+q_2)\), \(Cmg = 6\)

Note

A diferença face a Cournot é apenas o timing: em Cournot, as decisões são simultâneas e cada empresa toma a quantidade da outra como dada. Em Stackelberg, o líder conhece a função de reacção do seguidor e optimiza em função dela.

Passo 1 — A Função de Reacção do Seguidor

O seguidor resolve o seu problema exactamente como em Cournot, dado \(q_1\) observado:

\[\Pi_2 = (30 - q_1 - q_2)\,q_2 - 6\,q_2\]

\[\frac{\partial \Pi_2}{\partial q_2} = 24 - q_1 - 2q_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{q_2^*(q_1) = 12 - \frac{q_1}{2}}\]

Esta é a mesma função de reacção da aula anterior — o líder sabe que o seguidor a irá usar.

Passo 2 — O Líder Internaliza a Reacção do Seguidor

O líder substitui \(q_2^*(q_1)\) no seu próprio lucro:

\[\Pi_1 = \bigl(30 - q_1 - q_2^*(q_1)\bigr)\,q_1 - 6\,q_1\]

\[= \left(30 - q_1 - \left(12 - \frac{q_1}{2}\right)\right)q_1 - 6q_1 = \left(12 - \frac{q_1}{2}\right)q_1\]

\[\Pi_1 = 12\,q_1 - \frac{q_1^2}{2}\]

Condição de primeira ordem:

\[\frac{d\Pi_1}{dq_1} = 12 - q_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{q_1^* = 12}\]

Passo 3 — Equilíbrio de Stackelberg

Com \(q_1^* = 12\), o seguidor responde:

\[q_2^* = 12 - \frac{12}{2} = 6\]

Resultados de equilíbrio:

\[Q^*_S = 12 + 6 = 18 \qquad P^*_S = 30 - 18 = 12\]

\[\Pi_{\text{líder}} = (12-6)\times 12 = 72 \qquad \Pi_{\text{seguidor}} = (12-6)\times 6 = 36\]

Important

Vantagem do primeiro movente: o líder ganha 72 — tanto quanto o monopolista — enquanto o seguidor fica com apenas 36, abaixo dos 64 de Cournot.

O líder usa a quantidade como compromisso: ao produzir muito (12), força o seguidor a produzir pouco (6).

Stackelberg vs. Cournot — Diagrama

Intuição do Primeiro Movente

Por que vale a pena ser o líder?

Em Cournot, se a Empresa 1 aumentasse unilateralmente a sua produção de 8 para 12, o preço desceria e o lucro cairia (dado \(q_2 = 8\) fixo).

Em Stackelberg, o líder sabe que ao produzir 12, o seguidor responde com 6 (não com 8). O efeito adverso no preço é parcialmente compensado pela contracção do seguidor.

Note

O compromisso credível de produzir muito disciplina o rival. O líder renuncia à melhor resposta de Cournot, mas obtém um resultado melhor porque o seguidor ajusta em sentido contrário.

Esta é a essência da vantagem do primeiro movente em jogos de quantidades.

Comparação Final

Tabela Resumo: Quatro Estruturas

Estrutura \(Q\) \(P\) \(\Pi_1\) \(\Pi_2\)
Monopólio (cartel) \(12\) \(18\) \(72\) \(72\)
Stackelberg \(18\) \(12\) \(72\) \(36\)
Cournot \(16\) \(14\) \(64\) \(64\)
Conc. Perfeita \(24\) \(6\) \(0\) \(0\)

Important

Ordenações que sempre se verificam:

\(Q_m < Q_C < Q_S < Q_{cp}\) e \(P_m > P_C > P_S > P_{cp}\)

\(\Pi_{\text{líder}}^S > \Pi^C > \Pi_{\text{seguidor}}^S\)

O líder de Stackelberg ganha tanto quanto o monopolista — ao comprometer-se com produção elevada, captura toda a vantagem estratégica.

Cournot vs. Stackelberg: Síntese

Os dois modelos diferem na informação e no timing — com consequências directas sobre quem ganha e quem perde.

Cournot Stackelberg
Timing Simultâneo Sequencial
Hipótese sobre rival \(q_j\) fixo (conjectura) \(q_j = BR_j(q_i)\) (conhecida)
Equilíbrio Nash em quantidades Backward induction
\(q_{\text{líder}}\) vs \(q_C\) \(q^C = 8\) \(q_L^S = 12 > 8\)
\(q_{\text{seguidor}}\) vs \(q_C\) \(q^C = 8\) \(q_F^S = 6 < 8\)
\(\Pi_{\text{líder}}\) vs \(\Pi_C\) \(64\) \(72 > 64\)
\(\Pi_{\text{seguidor}}\) vs \(\Pi_C\) \(64\) \(36 < 64\)

Exercícios

Exercício 1 — Escolha Múltipla

No modelo de Stackelberg, o líder produz mais do que no equilíbrio de Cournot porque:

  1. O líder tem custos marginais mais baixos
  2. O líder sabe que o seguidor reduzirá a sua produção em resposta — o compromisso com quantidade elevada disciplina o rival
  3. O líder age simultaneamente com o seguidor e pode coordenar melhor
  4. O seguidor não observa a quantidade do líder e não consegue reagir

Solução — Exercício 1

    1. Falso — os custos são idênticos nos dois modelos
  • (b) Verdadeiro — o líder internaliza a função de reacção do seguidor: sabe que produzir mais força o seguidor a produzir menos, atenuando o efeito negativo no preço. É a essência da vantagem do primeiro movente.
    1. Falso — Stackelberg é sequencial, não simultâneo
    1. Falso — o seguidor observa \(q_1\) antes de decidir; é precisamente isso que torna o compromisso do líder credível

Resposta: (b)

Exercício 2 — Escolha Múltipla

No jogo de entrada com payoffs (Entrante, Incumbente): Entrar+Combater = \((-2,\ -1)\); Entrar+Acomodar = \((3,\ 2)\); Ficar Fora = \((0,\ 5)\). Por indução para trás, o resultado é:

  1. Ficar Fora, porque o Incumbente ameaça combater
  2. Entrar + Combater, porque o Incumbente cumpre a ameaça
  3. Entrar + Acomodar, porque a ameaça de combater não é credível
  4. Indeterminado — há dois Equilíbrios de Nash

Solução — Exercício 2

Indução para trás:

  1. Se Entrante entrar, Incumbente escolhe: Combater \((-1)\) vs Acomodar \((2)\) \(\Rightarrow\) Acomodar
  2. Entrante antecipa Acomodar: Entrar \((3)\) vs Ficar Fora \((0)\) \(\Rightarrow\) Entrar

A ameaça de combater é não credível — o Incumbente não a executaria ex-post.

Resposta: (c)

Nota: existe um EN na forma normal em que Entrante fica fora com base na ameaça de combater — mas a indução para trás elimina esse EN por envolver estratégias não credíveis.

Exercício de Desenvolvimento

Dois produtores de aço, a Empresa 1 (líder) e a Empresa 2 (seguidor), operam no mercado com procura inversa \(P = 30 - (q_1 + q_2)\) e custo marginal \(Cmg = 6\) para ambas.

Alíneas:

  1. Derive a função de reacção do seguidor (Empresa 2), \(q_2^*(q_1)\).
  2. Substitua \(q_2^*(q_1)\) na função de lucro do líder e simplifique.
  3. Determine a quantidade óptima do líder \(q_1^*\) e a resposta do seguidor \(q_2^*\).
  4. Calcule \(Q^*_S\), \(P^*_S\), \(\Pi_{\text{líder}}\) e \(\Pi_{\text{seguidor}}\).
  5. Compare com o equilíbrio de Cournot da aula anterior (\(q^C = 8\), \(\Pi^C = 64\)). Quem ganha e quem perde com a liderança? Justifique.
  6. Complete a tabela com os quatro resultados: monopólio, Stackelberg, Cournot, concorrência perfeita.

Solução — Exercício de Desenvolvimento

a) \(\Pi_2 = (30-q_1-q_2-6)q_2\). CPO: \(24-q_1-2q_2=0\)

\[q_2^*(q_1) = 12 - \frac{q_1}{2}\]

b) \(\Pi_1 = \!\left(30-q_1-\!\left(12-\tfrac{q_1}{2}\right)-6\right)q_1 = \!\left(12-\tfrac{q_1}{2}\right)q_1 = 12q_1 - \tfrac{q_1^2}{2}\)

c) \(\dfrac{d\Pi_1}{dq_1} = 12 - q_1 = 0 \Rightarrow q_1^* = 12\)

\(q_2^* = 12 - 6 = 6\)

d) \(Q^*_S = 18\), \(P^*_S = 30-18 = 12\)

\(\Pi_{\text{líder}} = (12-6)\times 12 = 72\) \(\quad;\quad\) \(\Pi_{\text{seguidor}} = (12-6)\times 6 = 36\)

Solução — Exercício de Desenvolvimento

e) O líder ganha \(72 > 64\) (Cournot): ao comprometer-se com \(q_1=12\), força o seguidor a retrair-se para \(q_2=6\), capturando mais mercado. O seguidor perde: \(36 < 64\) (Cournot) — é penalizado por agir segundo, ficando com um mercado residual mais pequeno.

f)

Estrutura \(Q\) \(P\) \(\Pi_1\) \(\Pi_2\)
Monopólio \(12\) \(18\) \(72\) \(72\)
Stackelberg \(18\) \(12\) \(72\) \(36\)
Cournot \(16\) \(14\) \(64\) \(64\)
Conc. Perfeita \(24\) \(6\) \(0\) \(0\)