Microeconomia

Etapas do Processo Produtivo e Lei da Contratação

Author

ISCAL - IPL

1 Revisão: Etapas do Processo Produtivo

Objectivo: Identificar as três etapas do processo produtivo, compreender a Zona Económica de Exploração, e derivar a Lei da Contratação como condição óptima do produtor.

2 Recapitulação: APL e MPL

A curto prazo, com \(K = \bar{K}\) fixo e \(L\) variável:

\[MPL = \frac{\Delta Q}{\Delta L} \qquad APL = \frac{Q}{L}\]

Relação fundamental entre as duas medidas:

  • Quando \(MPL > APL\) → \(APL\) está a crescer
  • Quando \(MPL = APL\) → \(APL\) está no seu máximo (óptimo técnico)
  • Quando \(MPL < APL\) → \(APL\) está a decrescer

3 As 3 Etapas — Diagrama Geral

4 Etapa I — Rendimentos Marginais Crescentes

Intervalo: \(L \in [0,\, L_1[\) onde \(L_1\) é o ponto em que \(MPL = APL\)

  • \(MPL\) está a crescer (até ao ponto de inflexão) e depois decresce, mas mantém-se acima de \(APL\)
  • \(APL\) está sempre a crescer
  • A empresa ainda não está a aproveitar ao máximo a combinação de fatores

A empresa não se deve fixar na Etapa I — está a produzir abaixo do óptimo técnico, onde a produtividade média ainda pode aumentar.

5 Etapa II — Zona Económica de Exploração

Intervalo: \(L \in [L_1,\, L_{max}]\) onde \(MPL = APL\) até \(MPL = 0\)

  • \(APL\) está a decrescer (mas \(APL > 0\))
  • \(MPL \geq 0\): cada trabalhador adicional ainda contribui positivamente para o output
  • É aqui que se situam todas as escolhas óptimas de produção

A Zona Económica de Exploração coincide com a Etapa II: entre o óptimo técnico (\(Q_1\), máximo de \(APL\)) e o máximo de produção (\(Q_{max}\), \(MPL = 0\)).

6 Etapa III — Rendimentos Marginais Negativos

Intervalo: \(L > L_{max}\) onde \(MPL = 0\)

  • \(MPL < 0\): cada trabalhador adicional reduz o output total
  • O produto total está a diminuir

Nenhuma empresa racional opera na Etapa III — estaria a pagar trabalhadores para reduzir a sua produção.

7 Resumo das 3 Etapas

Etapa Intervalo (L) MPL APL Output
I \([0,\; L_1[\) \(> APL\) crescente crescente
II (ZEE) \([L_1,\; L_{max}]\) \(\geq 0\), \(< APL\) decrescente crescente
III \(]L_{max},\; +\infty[\) \(< 0\) decrescente decrescente

ZEE = Zona Económica de Exploração → Etapa II: onde o produtor racional opera.

8 Exemplo Numérico — Tabela Completa

\(L\) \(Q=F(K,L)\) \(APL\) \(MPL\) Etapa
0 0 — —
1 4 4.00 4 I
2 14 7.00 10 I
3 27 9.00 13 I
4 43 10.75 16 I (máx MPL)
5 58 11.60 15 I
6 72 12.00 14 II (óptimo técnico: APL máx)
7 81 11.57 9 II
8 86 10.75 5 II
9 86 9.56 0 II→III (\(Q_{max}\))
10 78 7.80 \(-8\) III

Nota: a tabela usa valores arredondados para ilustração; os pontos de fronteira exactos são calculados analiticamente.

9 Objectivo da Empresa: Maximizar o Lucro

A empresa quer maximizar:

\[\Pi = \underbrace{P \times Q}_{\text{Receita Total}} - \underbrace{W \times L}_{\text{Custo Variável}} - \underbrace{r \times \bar{K}}_{\text{Custo Fixo}}\]

A curto prazo, \(K\) é fixo. A variável de controlo é \(L\). Maximizar \(\Pi\) em ordem a \(L\):

\[\frac{\partial \Pi}{\partial L} = 0\]

10 Derivação da Condição Óptima

\[\frac{\partial \Pi}{\partial L} = P \cdot \frac{\partial Q}{\partial L} - W = 0\]

Ou seja: \[P \cdot MPL = W\]

Lei da Contratação: A empresa deve contratar trabalho até ao ponto em que o valor do produto marginal do trabalho (\(P \times MPL\)) iguala o salário (\(W\)).

11 Lei da Contratação — Intuição

\[\underbrace{P \times MPL}_{\text{Benefício Marginal de contratar L}} = \underbrace{W}_{\text{Custo Marginal de contratar L}}\]

  • Se \(P \cdot MPL > W\): vale a pena contratar mais um trabalhador (receita adicional supera o custo)
  • Se \(P \cdot MPL < W\): o último trabalhador custa mais do que produz — deve-se reduzir \(L\)
  • Se \(P \cdot MPL = W\): condição óptima ✓

É a aplicação directa do princípio Cmg = Bmg ao mercado de factores!

12 Exemplo Resolvido

Dados: \(Q = K^{0.5}L^{0.5}\), \(\bar{K} = 100\), \(P = 10\), \(W = 20\)

A curto prazo: \(Q = 10L^{0.5}\)

\(MPL = \frac{dQ}{dL} = 5 L^{-0.5}\)

Condição óptima: \(P \cdot MPL = W\)

\[10 \times 5L^{-0.5} = 20\] \[50 L^{-0.5} = 20 \implies L^{0.5} = \frac{50}{20} = 2.5 \implies L^* = 6.25\]

Output óptimo: \(Q^* = 10 \times \sqrt{6.25} = 10 \times 2.5 = 25\)

13 A Relação Produtividade–Salário

Da condição óptima \(P \cdot MPL = W\), podemos escrever:

\[MPL = \frac{W}{P}\]

Esta expressão diz-nos que o produto marginal do trabalho na escolha óptima é igual ao salário real \(W/P\).

Trabalhadores mais produtivos (maior \(MPL\)) justificam salários mais elevados — ou, a preços mais altos, justifica-se contratar mais trabalho. A Lei da Contratação liga diretamente produtividade e remuneração.

14 Verificação Gráfica

A curva \(P \cdot MPL\) é decrescente (por causa dos rendimentos marginais decrescentes). A empresa contrata \(L^*\) onde essa curva cruza o salário \(W\).

15 Exercícios — Escolha Múltipla (1)

1. Uma empresa tem \(Q = 4L^{0.5}\), \(P = 5\) e \(W = 10\). Qual a quantidade óptima de trabalho a contratar?

  1. \(L^* = 1\)
  2. \(L^* = 4\)
  3. \(L^* = 9\)
  4. \(L^* = 16\)

Solução: A \(MPL = 2L^{-0.5}\). Lei da contratação: \(P \cdot MPL = W \Rightarrow 5 \times 2L^{-0.5} = 10 \Rightarrow L^{-0.5} = 1 \Rightarrow L^* = 1\).

16 Exercícios — Escolha Múltipla (2)

2. A empresa está a operar com \(P \cdot MPL > W\). O que deve fazer para maximizar o lucro?

  1. Reduzir o output — está a produzir demasiado.
  2. Manter a produção — já está no óptimo.
  3. Contratar mais trabalho — o benefício marginal supera o custo marginal.
  4. Aumentar o preço de venda.

Solução: C Se \(P \cdot MPL > W\), cada trabalhador adicional gera mais receita do que custa. A empresa deve contratar mais até \(P \cdot MPL = W\).

17 Exercício de Desenvolvimento

Enunciado: A empresa ALFA tem a função de produção \(Q = -KL^3 + 12L^2 + 60LK^3\), com \(K=1\) fixo. O preço de venda é \(P = 2\) u.m. e o salário unitário é \(W = 168\) u.m.

  1. Calcule \(MPL\) e \(APL\). Delimite as três etapas do processo produtivo.

  2. Aplique a Lei da Contratação para encontrar \(L^*\) e \(Q^*\).

  3. Verifique que \(L^*\) se encontra na Zona Económica de Exploração.

18 Solução — Desenvolvimento (a)

\[MPL = -3L^2 + 24L + 60\] \[APL = -L^2 + 12L + 60\]

Etapa I → II (\(MPL = APL\)): \[-3L^2 + 24L + 60 = -L^2 + 12L + 60 \implies -2L^2 + 12L = 0 \] \[\implies L(L-6)=0\implies L_1 = 6\]

Etapa II → III (\(MPL = 0\)): \[-3L^2 + 24L + 60 = 0 \implies L^2 - 8L - 20 = 0 \implies (L-10)(L+2) = 0\] \[\implies L_{max} = 10\]

Etapa Intervalo
I \([0,\; 6[\)
II (ZEE) \([6,\; 10]\)
III \(]10,\; +\infty[\)

19 Solução — Desenvolvimento (b) e (c)

Lei da Contratação: \(P \cdot MPL = W\)

\[2 \times (-3L^2 + 24L + 60) = 168\] \[-3L^2 + 24L + 60 = 84\] \[-3L^2 + 24L - 24 = 0 \implies L^2 - 8L + 8 = 0\] \[L = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}\]

\(L_1 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 1.17\) (Etapa I — não é óptimo)

\(L_2 = 4 + 2\sqrt{2} \approx 6.83\) (Etapa II ✓)

\(L^* \approx 6.83\); \(Q^* = -(6.83)^3 + 12(6.83)^2 + 60(6.83) \approx 650.5\) u.

\(L^* \approx 6.83 \in [6, 10]\) → está na ZEE ✓