Otimização de Longo Prazo e Isoquanta

Microeconomia — Licenciatura em Contabilidade e Administração

Author

ISCAL - IPL

Published

May 5, 2026

Curto Prazo vs. Longo Prazo

No curto prazo, pelo menos um factor produtivo é fixo (tipicamente o capital \(K\)), dando origem a custos fixos.

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No longo prazo, todos os factores são variáveis — a empresa pode escolher livremente a combinação de capital \(K\) e trabalho \(L\):

  • Não existem custos fixos
  • A empresa tem mais graus de liberdade
  • Pode sempre alcançar custos médios iguais ou menores do que no curto prazo

. . .

Important

Problema do produtor a longo prazo: encontrar a combinação \((K, L)\) que minimiza o custo de produzir uma dada quantidade \(Q^*\).

O Problema de Optimização de Longo Prazo

\[\min_{K,\, L} \; rK + wL \qquad \text{sujeito a} \quad F(K,L) = Q^*\]

onde \(r\) é o custo unitário do capital e \(w\) o custo unitário do trabalho.

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Símbolo Significado
\(r\) Custo de aluguer/uso do capital (taxa de juro, amortização)
\(w\) Salário (custo do trabalho)
\(rK + wL\) Custo total a minimizar
\(F(K,L) = Q^*\) Restrição: produzir exactamente \(Q^*\)

. . .

A restrição \(F(K,L) = Q^*\) define todas as combinações \((K,L)\) que produzem \(Q^*\) — a isoquanta.

Isoquanta: definição

NoteIsoquanta

Curva que representa todas as combinações de capital \(K\) e trabalho \(L\) que permitem obter a mesma quantidade produzida \(Q^*\).

\[\{(K, L) : F(K, L) = Q^*\}\]

É uma curva de nível da função de produção ao nível \(Q^*\).

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Para funções da família \(F(K,L) = A K^a L^b\), a isoquanta é uma hipérbole no espaço \((L, K)\).

Isoquantas mais afastadas da origem correspondem a níveis de produção mais elevados.

Isoquantas: geometria

Ao longo de cada isoquanta, \(K\) e \(L\) são substituíveis — reduzir um factor obriga a aumentar o outro para manter \(Q^*\).

Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST)

A inclinação da isoquanta mede a taxa a que a empresa troca \(L\) por \(K\) mantendo a produção constante:

\[TMST_{L,K} = -\frac{dK}{dL}\bigg|_{Q=Q^*} = \frac{PMg_L}{PMg_K}\]

. . .

  • A TMST é decrescente ao longo da isoquanta (lei dos rendimentos marginais decrescentes)
  • Quando se tem muito \(K\) e pouco \(L\), o trabalho é muito produtivo → troca-se muito \(K\) por uma unidade de \(L\)
  • Conforme se substitui \(K\) por \(L\), a TMST diminui

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Note

A TMST é análoga ao \(TMS\) do consumidor — aqui avalia a substituição de factores em vez de bens de consumo.

Isocusto: definição

NoteIsocusto

Recta formada por todas as combinações de \(K\) e \(L\) com o mesmo custo total \(\overline{CT}\):

\[\overline{CT} = rK + wL \quad \Longleftrightarrow \quad K = \frac{\overline{CT}}{r} - \frac{w}{r} L\]

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Interceptos:

  • Eixo \(K\) (\(L=0\)): \(K = \dfrac{\overline{CT}}{r}\)
  • Eixo \(L\) (\(K=0\)): \(L = \dfrac{\overline{CT}}{w}\)

Inclinação: \(-\dfrac{w}{r}\) (razão dos preços dos factores)

Isocustos mais afastados da origem correspondem a custos totais mais elevados.

A inclinação é constante — os preços dos factores são dados para a empresa.

Isocusto: geometria

Isocustos paralelos: mesma inclinação \(-w/r\), diferentes níveis de custo.

A Condição de Óptimo

O mínimo de custo para produzir \(Q^*\) ocorre no ponto onde a isoquanta é tangente ao isocusto:

\[TMST_{L,K} = \frac{w}{r} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{PMg_L}{PMg_K} = \frac{w}{r}\]

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Interpretação: no óptimo, o “valor” marginal de cada euro gasto em \(L\) iguala o de cada euro gasto em \(K\):

\[\frac{PMg_L}{w} = \frac{PMg_K}{r}\]

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Important

Se \(\dfrac{PMg_L}{w} > \dfrac{PMg_K}{r}\): o trabalho é relativamente mais produtivo por euro → convém substituir \(K\) por \(L\).

Só no óptimo é que a empresa não tem incentivo a realocar factores.

Exemplo Resolvido

\(F(K,L) = K^{0{,}5} L^{0{,}5}\), \(Q^* = 100\), \(r = w = 5\).

Passo 1 — Isoquanta: \(100 = K^{0.5}L^{0.5}\) \(\Rightarrow\) \(KL = 10\,000\) \(\Rightarrow\) \(K = \dfrac{10\,000}{L}\)

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Passo 2 — Substituir na função custo: \[CT(L) = 5 \cdot \frac{10\,000}{L} + 5L = \frac{50\,000}{L} + 5L\]

. . .

Passo 3 — CPO: \[\frac{dCT}{dL} = -\frac{50\,000}{L^2} + 5 = 0 \;\Rightarrow\; L^2 = 10\,000 \;\Rightarrow\; L^* = 100\]

. . .

Resultado: \(L^* = 100\), \(K^* = 100\), \(CT^* = 500 + 500 = 1\,000\).

Verificação da condição de óptimo: \(TMST = K/L = 1 = w/r = 5/5 = 1\) ✓

Isoquanta + Isocusto: o óptimo graficamente

Os pontos \(a\) e \(b\) também produzem \(Q^*\), mas com custo maior — estão sobre isocustos superiores.

Custos de Longo Prazo são Menores

No curto prazo, \(K\) está fixo em \(K_1 \neq K^*\): a empresa não pode ajustar o capital.

No LP, a empresa minimiza custos em \((L^*, K^*)\). No CP com \(K = K_1\) fixo, atinge a mesma isoquanta mas com custo superior.

Custo Médio de Longo Prazo

Cada ponto da curva \(CM_{LP}\) é o mínimo do \(CTM\) de curto prazo para o nível de capital óptimo correspondente a cada \(Q\):

A curva \(CM_{LP}\) é o envelope inferior de todas as curvas de custo médio de curto prazo.

Economias e Deseconomias de Escala

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Zona Condição Significado
Economias de escala \(CM_{LP}\) decrescente Crescer reduz o custo médio
Escala Mínima Eficiente (EME) Mínimo de \(CM_{LP}\) Dimensão óptima da empresa
Deseconomias de escala \(CM_{LP}\) crescente Crescer aumenta o custo médio

Custos Económicos vs. Contabilísticos

Note

Os custos usados na análise económica são custos de oportunidade — incluem não apenas despesas de caixa, mas também o valor das alternativas a que se renuncia.

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Consequências importantes:

  • O lucro económico é sempre \(\leq\) o lucro contabilístico
  • Uma empresa com lucro contabilístico nulo pode ter lucro económico negativo (se o capital poderia render mais noutro uso)
  • No equilíbrio de longo prazo concorrencial, o lucro económico é zero — mas a empresa tem um lucro contabilístico normal (cobre o custo de oportunidade do capital)

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Important

\(\Pi_{econ} = RT - CT_{econ}\) onde \(CT_{econ}\) inclui o custo de oportunidade de todos os factores, incluindo o capital próprio do empresário.

Exercícios

Exercício 1 (Escolha Múltipla)

Uma empresa tem \(F(K,L) = 2K^{0.5}L^{0.5}\), \(r = w = 2\), e pretende produzir \(Q^* = 20\). Qual a combinação óptima \((K^*, L^*)\) e o custo mínimo?

(A) \(K^*=5,\ L^*=5,\ CT^*=20\)

(B) \(K^*=10,\ L^*=10,\ CT^*=40\)

(C) \(K^*=20,\ L^*=20,\ CT^*=80\)

(D) \(K^*=10,\ L^*=5,\ CT^*=30\)

TipSolução

Resposta: (B)
Isoquanta: \(2\sqrt{KL}=20 \Rightarrow \sqrt{KL}=10 \Rightarrow KL=100 \Rightarrow K=100/L\).
\(CT(L) = 200/L + 2L\); CPO: \(-200/L^2+2=0 \Rightarrow L^*=10\), \(K^*=10\).
\(CT^*=2(10)+2(10)=40\). Verificação: \(2\sqrt{100}=20\) ✓

Exercícios

Exercício 2 (Escolha Múltipla)

Qual das seguintes afirmações sobre o longo prazo é correcta?

(A) No longo prazo os custos fixos são constantes.

(B) O \(CM_{LP}\) é sempre superior ao \(CTM\) de curto prazo.

(C) O \(CM_{LP}\) é o envelope inferior dos \(CTM\) de curto prazo.

(D) No longo prazo a empresa não tem grau de liberdade para escolher \(K\).

TipSolução

Resposta: (C)
No LP não há custos fixos → (A) falsa. O \(CM_{LP} \leq CTM_{CP}\) em qualquer ponto → (B) falsa. No LP a empresa escolhe \(K\) livremente → (D) falsa. A curva \(CM_{LP}\) tangencia cada \(CTM_{CP}\) pelo baixo — é o seu envelope inferior → (C) correcta.

Exercício 3 (Desenvolvimento)

Uma empresa tem \(F(K,L) = KL\), com \(r = 4\) e \(w = 9\). Pretende produzir \(Q^* = 36\).

a) Escreva a equação da isoquanta e determine a combinação óptima \((K^*, L^*)\).

b) Calcule o custo mínimo \(CT^*\) e escreva a equação do isocusto óptimo.

c) Verifique a condição de óptimo \(TMST = w/r\).

d) Se no curto prazo o capital está fixo em \(K_1 = 12 \neq K^*\), qual seria \(L_1\) e \(CT_1\)? Compare com \(CT^*\).

TipSolução

a) Isoquanta: \(KL = 36 \Rightarrow K = 36/L\).
\(CT(L) = 4(36/L) + 9L = 144/L + 9L\).
CPO: \(-144/L^2 + 9 = 0 \Rightarrow L^* = 4\), \(K^* = 9\).

b) \(CT^* = 4(9) + 9(4) = 36 + 36 = 72\). Isocusto: \(72 = 4K + 9L\), i.e. \(K = 18 - \tfrac{9}{4}L\).

c) \(TMST = K/L = 9/4\) e \(w/r = 9/4\) ✓

d) \(K_1=12\): isoquanta \(\Rightarrow L_1 = 36/12 = 3\). \(CT_1 = 4(12)+9(3) = 48+27 = 75 > 72 = CT^*\). O CP tem custo superior, como esperado.

Síntese

  • No longo prazo todos os factores são variáveis — o problema é minimizar \(rK+wL\) sujeito a \(F(K,L)=Q^*\).
  • A isoquanta mostra todas as combinações \((K,L)\) que produzem \(Q^*\) — é análoga à curva de indiferença do consumidor.
  • O isocusto representa combinações de igual custo; a sua inclinação é \(-w/r\).
  • O óptimo ocorre na tangência isoquanta-isocusto: \(TMST = w/r\), ou equivalentemente \(PMg_L/w = PMg_K/r\).
  • Os custos de LP são sempre \(\leq\) custos de CP — no LP a empresa tem mais flexibilidade.
  • A curva \(CM_{LP}\) é o envelope inferior das curvas \(CTM\) de CP.
  • Há economias de escala quando \(CM_{LP}\) é decrescente; deseconomias quando é crescente.
  • O mínimo de \(CM_{LP}\) é a Escala Mínima Eficiente (EME).