Microeconomia

Aula 23 — Oligopólio: O Modelo de Cournot

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ISCAL - IPL

1 Oligopólio

1.1 Características do Oligopólio

  • Poucas empresas dominam o mercado — tipicamente 2 a 10
  • Produto pode ser homogéneo (petróleo, aço) ou diferenciado (automóveis, smartphones)
  • Barreiras à entrada significativas — custos elevados, economias de escala, patentes
  • Interdependência estratégica — o lucro de cada empresa depende das decisões das rivais

. . .

Important

A característica central do oligopólio é a interdependência estratégica. A empresa A não pode optimizar sem antecipar o comportamento da empresa B — e B sabe que A sabe isso. É precisamente aqui que a teoria de jogos se aplica.

1.2 Como Modelar o Oligopólio?

A variável estratégica define o modelo:

. . .

Modelo Variável estratégica Timing
Cournot Quantidade Simultâneo
Stackelberg Quantidade Sequencial
Bertrand Preço Simultâneo

. . .

Hoje: Cournot — cada empresa escolhe simultaneamente a quantidade a produzir, tomando a quantidade da rival como dada.

2 O Modelo de Cournot

2.1 Estrutura do Modelo

Duopólio simétrico:

  • Duas empresas, A e B, produzem um bem homogéneo
  • Procura inversa de mercado: \(P = a - b(q_A + q_B)\)
  • Custos idênticos: \(CT_i = c \cdot q_i\) (custo marginal constante \(Cmg = c\), sem custos fixos)
  • Decisão simultânea de quantidade — nenhuma empresa observa a escolha da outra antes de decidir

. . .

Note

A hipótese de Cournot: cada empresa trata a quantidade da rival como fixa ao optimizar. É uma hipótese simplificadora mas gera um equilíbrio de Nash bem definido.

2.2 Maximização do Lucro — Empresa A

O lucro da empresa A é:

\[\Pi_A = P \cdot q_A - c \cdot q_A = \bigl[a - b(q_A + q_B)\bigr] q_A - c \cdot q_A\]

. . .

Expandindo:

\[\Pi_A = (a - c)\,q_A - b\,q_A^2 - b\,q_A q_B\]

. . .

Condição de primeira ordem (\(q_B\) tratado como fixo):

\[\frac{\partial \Pi_A}{\partial q_A} = (a - c) - 2b\,q_A - b\,q_B = 0\]

. . .

\[\boxed{q_A^* = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_B}{2}}\]

2.3 A Função de Reacção (Best Response)

\[q_A^*(q_B) = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}\,q_B\]

. . .

Esta é a função de reacção (ou best response) da empresa A: para cada valor de \(q_B\), indica a quantidade óptima de A.

. . .

  • Quando \(q_B = 0\): \(q_A^* = \dfrac{a-c}{2b}\) — A produz como monopolista
  • Quando \(q_B\) aumenta: \(q_A^*\) diminui — A produz menos porque o preço já é pressionado pela produção de B
  • A inclinação é \(-\tfrac{1}{2}\): por cada unidade adicional de B, A reduz a sua produção em meia unidade

. . .

Por simetria, a função de reacção de B é:

\[q_B^*(q_A) = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}\,q_A\]

2.4 Equilíbrio de Nash de Cournot

O equilíbrio ocorre quando ambas as empresas estão na sua função de reacção simultaneamente:

\[q_A = q_B^*(q_A) \quad \text{e} \quad q_B = q_A^*(q_B)\]

. . .

Substituindo \(q_B^*\) na função de reacção de A (duopólio simétrico):

\[q_A = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2}\left(\frac{a-c}{2b} - \frac{q_A}{2}\right) = \frac{a-c}{2b} - \frac{a-c}{4b} + \frac{q_A}{4}\]

\[\frac{3}{4}\,q_A = \frac{a-c}{4b} \quad\Rightarrow\quad \boxed{q_A^* = q_B^* = \frac{a-c}{3b}}\]

. . .

Quantidade total e preço de equilíbrio:

\[Q^*_C = \frac{2(a-c)}{3b} \qquad P^*_C = a - b\,Q^*_C = \frac{a + 2c}{3}\]

2.5 Diagrama das Funções de Reacção

2.6 Leitura do Diagrama

  • \(BR_A\) (azul): função de reacção de A — para cada \(q_B\), a melhor resposta de A
  • \(BR_B\) (vermelha): função de reacção de B — para cada \(q_A\), a melhor resposta de B
  • Cournot (8, 8): interseção das duas funções — único ponto em que ambas as empresas estão simultaneamente a optimizar
  • Cartel (6, 6): se as empresas cooperassem, produziriam menos e ganhariam mais — mas não está na intersecção das BRs, logo não é estável
  • C.P. (12, 12): equilíbrio competitivo — está fora da região de lucros positivos de cada empresa

. . .

Important

O Cartel (6, 6) não é um Equilíbrio de Nash: se B produz 6, a melhor resposta de A é \(BR_A(6) = 12 - 3 = 9 \neq 6\). Cada empresa tem incentivo a desviar — o cartel é instável.

3 Equilíbrio Numérico

3.1 Exemplo: \(P = 30 - Q\), \(Cmg = 6\)

Com \(a=30\), \(b=1\), \(c=6\):

. . .

Funções de reacção:

\[q_A^*(q_B) = 12 - \frac{q_B}{2} \qquad q_B^*(q_A) = 12 - \frac{q_A}{2}\]

. . .

Equilíbrio de Cournot (resolver o sistema):

\[q_A^* = 12 - \frac{q_A^*}{4} \cdot \ldots \quad \Rightarrow \quad q_A^* = q_B^* = \frac{30-6}{3} = 8\]

. . .

\[Q^*_C = 16 \qquad P^*_C = 30 - 16 = 14 \qquad \Pi^*_{\text{cada}} = (14-6)\times 8 = 64\]

3.2 Comparação entre Estruturas de Mercado

Estrutura \(Q\) \(P\) \(\Pi\) cada
Monopólio (cartel) \(12\) \(18\) \(72\)
Cournot \(16\) \(14\) \(64\)
Concorrência Perfeita \(24\) \(6\) \(0\)

. . .

Note

Ordenações que sempre se verificam (duopólio simétrico):

\(Q_{\text{mono}} < Q_{\text{Cournot}} < Q_{\text{CP}}\)

\(P_{\text{mono}} > P_{\text{Cournot}} > P_{\text{CP}}\)

\(\Pi_{\text{mono}}/2 > \Pi_{\text{Cournot}} > 0\)

3.3 Por que o Cartel é Instável?

Se ambas cooperassem e produzissem \(q = 6\) cada (resultado de monopólio):

. . .

A empresa A verifica: \(BR_A(6) = 12 - 3 = 9 \neq 6\)

. . .

Se A desviar para \(q_A = 9\) (com \(q_B = 6\)):

\[P = 30 - (9+6) = 15 \qquad \Pi_A = (15-6)\times 9 = 81 > 72\]

. . .

Important

Ao desviar do cartel, A aumenta o lucro de \(72\) para \(81\). B raciocina da mesma forma. O acordo colapsa — estrutura de dilema do prisioneiro.

Esta ligação entre Cournot e teoria de jogos (aula anterior) é exacta: o equilíbrio de Cournot é o Equilíbrio de Nash do jogo em que as estratégias são quantidades.

4 Exercícios

4.1 Exercício 1 — Escolha Múltipla

No modelo de Cournot com duas empresas simétricas e procura linear, quando a empresa A aumenta a sua produção, a função de reacção da empresa B indica que B deve:

  1. Aumentar também a produção, para manter a quota de mercado
  2. Manter a produção inalterada, pois toma \(q_A\) como dado
  3. Reduzir a produção, porque o preço de mercado desceu
  4. Sair do mercado se o preço cair abaixo do custo médio

4.2 Solução — Exercício 1

A função de reacção de B é \(q_B^*(q_A) = \dfrac{a-c}{2b} - \dfrac{1}{2}q_A\).

A inclinação é \(-\tfrac{1}{2}\): quando \(q_A\) sobe 1 unidade, \(q_B^*\) desce \(\tfrac{1}{2}\).

Resposta: (c) — B reduz a produção porque a maior quantidade de A baixa o preço de mercado; a melhor resposta de B é produzir menos para limitar a queda do preço que recebe.

  1. descreve a hipótese de Cournot (B toma \(q_A\) como dado ao optimizar), não a direcção da resposta óptima quando \(q_A\) muda.

4.3 Exercício 2 — Escolha Múltipla

No equilíbrio de Cournot de um duopólio simétrico, comparando com o resultado de monopólio:

  1. A quantidade total é maior e o preço é menor
  2. A quantidade total é menor e o preço é maior
  3. O lucro de cada empresa é maior do que metade do lucro de monopólio
  4. O resultado é eficiente porque \(P = Cmg\)

4.4 Solução — Exercício 2

  • (a) Verdadeiro — \(Q_C > Q_m\) e \(P_C < P_m\): a concorrência entre as duas empresas aumenta a produção total e baixa o preço face ao monopólio
    1. Falso — inverte as ordenações correctas
    1. Falso — o lucro de cada empresa em Cournot (\(64\)) é menor do que metade do lucro de monopólio (\(72\)): a concorrência dissipa parte dos lucros
    1. Falso — em Cournot \(P > Cmg\); o resultado é ineficiente (existe DWL), embora menor do que em monopólio

Resposta: (a)

4.5 Exercício de Desenvolvimento

Duas empresas, A e B, operam num mercado com procura inversa \(P = 30 - (q_A + q_B)\).

Ambas têm custo marginal constante \(Cmg = 6\) e sem custos fixos.

Alíneas:

  1. Derive a função de reacção (best response) da empresa A, \(q_A^*(q_B)\).
  2. Por simetria, escreva a função de reacção de B. Resolva o sistema para obter o equilíbrio de Cournot \((q_A^*, q_B^*)\).
  3. Calcule a quantidade total \(Q^*_C\), o preço \(P^*_C\) e o lucro de cada empresa \(\Pi^*_C\).
  4. Determine o resultado de monopólio: quantidade, preço e lucro total. Compare com Cournot.
  5. Mostre que o acordo de cartel (cada empresa produz \(q=6\)) não é estável: calcule o lucro de A se se desviar enquanto B produz 6.
  6. Determine o equilíbrio de concorrência perfeita e complete a tabela comparativa.

4.6 Solução — Exercício de Desenvolvimento

a) \(\Pi_A = (30 - q_A - q_B)q_A - 6q_A\). CPO: \(\dfrac{\partial \Pi_A}{\partial q_A} = 24 - 2q_A - q_B = 0\)

\[q_A^*(q_B) = 12 - \frac{q_B}{2}\]

. . .

b) \(q_B^*(q_A) = 12 - \dfrac{q_A}{2}\). Substituindo: \(q_A = 12 - \dfrac{1}{2}\!\left(12 - \dfrac{q_A}{2}\right) = 6 + \dfrac{q_A}{4}\)

\(\dfrac{3}{4}q_A = 6 \Rightarrow q_A^* = q_B^* = 8\)

. . .

c) \(Q^*_C = 16\), \(P^*_C = 30-16 = 14\), \(\Pi^*_C = (14-6)\times 8 = 64\) cada

. . .

d) Monopolista: \(Rmg = 30-2Q = 6 \Rightarrow Q_m=12\), \(P_m=18\), \(\Pi_m=144\) (cada: \(72\))

Cournot produz mais (\(16>12\)), cobra menos (\(14<18\)), lucro por empresa menor (\(64<72\)).

. . .

e) Se B produz \(6\): \(q_A^{dev} = 12-3=9\), \(P=30-15=15\), \(\Pi_A^{dev}=(15-6)\times 9=81>72\) ✓

A tem incentivo a desviar do cartel — o acordo é instável.

4.7 Solução — Exercício de Desenvolvimento

f) \(P=Cmg \Rightarrow 30-Q=6 \Rightarrow Q_{cp}=24\), \(P_{cp}=6\), \(\Pi=0\)

Estrutura \(Q\) \(P\) \(\Pi\) cada
Monopólio \(12\) \(18\) \(72\)
Cournot \(16\) \(14\) \(64\)
Conc. Perf. \(24\) \(6\) \(0\)